О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 (стр. 2 из 5)
Пусть
– некоторое непустое множество простых чисел.Группу G называют -специальной, если в ней существует нильпотентная нормальная -холлова подгруппа.Класс всех -специальных групп совпадает с классом N G '.Группу G называют
-замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Класс всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с G G '.Группа называется
-разложимой, если она одновременно -специальна и '-замкнута. Ниже приведем некоторые известные факты теории формаций, сформулировав их в ввиде следующих лемм.
Лемма 1 [1]. Пусть F=MH, где M и H – формации, причем M=LFp(m) для некоторого внутреннего спутника m. Формация F является p-локальной в том и только том случае, когда выполняется следующее условие: либо p
(M), либо формация H является p-локальной. Более того, при выполнении этого условия F=LFp(f), где f(p')=m(p')H и f(p)=m(p)H, если p 
(M), f(p)=h(p), если p 
(M).Следствием теоремы 1.2.25 [3] является следующая
Лемма 2 [3]. Пусть X – полуформация и A
F=formX. Тогда если A – монолитическая группа и A 
X, то в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (t 
2), что выполняются условия: (1) H/N 
A, M/N=Soc(H/N); (2) N1∩…∩ Nt=1; (3) H/Ni – монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1∩…∩ Mt 
M.Лемма 3 [2]. Пусть M и N – нормальные подгруппы группы G, причем M
CG(N). Тогда [N](G/M) formG.Лемма 4 [9]. Пусть F – произвольная ω-насыщенная не
-разложимая формация. Тогда в F имеется, по крайней мере, одна минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация.Следствием леммы5.2.8 [3, c. 194] является
Лемма 5. Пусть F, M, X и H – ω-насыщенные формации, причем F=MVωX. Тогда если m, r и t соответственно Hω-дефекты формаций M, X и F и m, r<
, то t 
m+r.Лемма 6 [1]. Решетка всех ω-насыщенных формаций lω модулярна.
Лемма 7 [1]. Если F=lωformX и f – минимальный ω-локальный спутник формации F, то справедливы следующие утверждения: 1) f(ω ') = form(G/Gωd | G
X); 2) f(p)=form(X(Fp)) для все p ω; 3) если F=LFω(h) и p – некоторый фиксированный элемент из ω, то F=LFω(f1), где f1(a)=h(a) для всех a (ω\{p}) 
{ω’}, f1(p)=form(G | G h(p)∩ F, Op(G)=1) и, кроме того, f1(p)=f(p); 4) F=LFω(G), где g(ω')=F и g(p)=f(p) для всех p ω.Лемма 8 [1]. Пусть fi – такой внутренний ω-локальный спутник формации Fi, что fi(ω')=Fi, где i
I. Тогда F=F1VωF2=LFω(f), где f=f1V f2.Лемма 9 [10]. Тогда и только тогда F – минимальная ω-насыщенная не
-разложимая формация, когда F=lωformG, где G – такая не -разложимая монолитическая группа с монолитом P, что (G)∩ =Ø и либо 
= (P)∩ω=Ø и P совпадает с -разложимым корадикалом группы G, либо 
Ø и выполняется одно из следующих условий: 1) группа P неабелева, причем, если 
', то G/P – '-группа, если ={p} , то G/P – p-группа, если же ∩ω 
Ø и | |>1, то G=P – простая неабелева группа; 2) G – группа Шмидта: 3) G=[P]H, где P=CG(P) – минимальная нормальная подгруппа группы G, H – простая неабелева группа, причем ∩ (H)=Ø.Лемма 10 [2, с. 41]. Пусть A монолитическая группа с неабелевым монолитом, M – некоторая полуформация и A
formM. Тогда A M.Лемма 11 [1]. Если формации M и H являются ω-насыщенными, то формация F=MH также является ω-насыщенной.
Лемма 12 [1]. Пусть F – ω-насыщенная формация и f – ее ω-локальный спутник. Если G/Op(G)
f(p)∩F, то G F.Следующая лемма является частным случаем леммы 5.2.7 [3, с. 193].
Лемма 13. Пусть M, F и H – ω-насыщенная формации и M
F. Тогда |M:M∩H|ω |F:F∩H |ω.Лемма 14 [3]. Пусть F – произвольная непустая формация и пусть у каждой группы G
X F-корадикал GF не имеет фраттиниевых G-главных факторов. Тогда если A – монолитическая группа из form X\F, то A H(X). В дальнейшем через X будем обозначать формацию всех
-разложимых групп, а X-дефект ω-насыщенной формации F называть ее -разложимым lω-дефектом. Заметим, что класс всех -разложимых групп совпадает с классом G ’G ∩N G '.Лемма 15. Пусть H – некоторая формация. Тогда формация NωH является ω-насыщенной.
Доказательство. Пусть F=NωH. Как известно, формация Nω является насыщенной и, следовательно, ω-насыщенной для всякого непустого множества простых чисел ω. В силу леммы 7 формация Nω имеет такой внутренний ω-локальный спутник n, что n(p)=1 для любого p
ω и n(ω')=Nω.