О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп (стр. 3 из 10)

Лемма 2.2 [2, c. 33]. Пусть

, где

– непустой класс групп. Тогда если

– минимальный

-значный экран формации

, то справедливы следующие утверждения:

1)

;

2)

при всех простых числах

;

3) если

– произвольный

-значный экран формации

, то при любом

имеет место

Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].

Лемма 2.3. Пусть

,

–

-замкнутые тотально насыщенные формации,

,

– канонический экран формации

. Тогда

является

-критической формацией в том и только в том случае, когда

, где

– такая монолитическая

-минимальная не

-группа с монолитом

, что для всех

формация

-критична.

3. Основные результаты

Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных

-замкнутых тотально насыщенных не -формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп , поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание -критических формаций для некоторых конкретных классов групп .

Минимальные

-замкнутые тотально насыщенные не

-разрешимые формации.

Напомним, что группу

называют -разрешимой, если для каждого ее главного -фактора . Пусть – формация всех -разрешимых групп. Тогда, очевидно, . Класс всех -разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.1. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-разрешимая формация, когда

, где

– монолитическая

-минимальная не

-разрешимая группа с таким неабелевым монолитом

, что

и группа

-разрешима.

Доказательство. Необходимость. Пусть

– минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. По теореме 1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)

– группа простого порядка ;

2)

– неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3)

,

где

– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где

– совокупность всех собственных -подгрупп группы .