О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп (стр. 4 из 10)

Поскольку

, то – неабелева группа и . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.

Достаточность. Пусть

, где – группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация имеет единственную максимальную -замкнутая тотально насыщенную подформацию , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы . Поскольку и , то . Следовательно, – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-разрешимая формация, когда

, где

– монолитическая

-минимальная не

-разрешимая группа с таким неабелевым монолитом

, что

и группа

-разрешима.

Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда

, где

– монолитическая

-минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом

, что группа

разрешима.

Если

– тривиальный подгрупповой функтор, т.е.

из теоремы 3.1 вытекает

Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда

– минимальная тотально насыщенная не

-разрешимая формация, когда

, где

– монолитическая группа с таким неабелевым монолитом

, что

и группа

-разрешима.

Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда

– минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда

, где

– монолитическая группа с таким неабелевым монолитом

, что группа

разрешима.

В случае, когда

– совокупность всех подгрупп группы из теоремы 3.1 получаем

Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда

– минимальная наследственная тотально насыщенная не

-разрешимая формация, когда

, где

– простая неабелева минимальная не

-разрешимая группа.

Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда

– минимальная наследственная тотально насыщенная не

-разрешимая формация, когда

, где

– простая неабелева минимальная не

-разрешимая группа.

Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда

– минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда

, где

– простая неабелева минимальная неразрешимая группа.

Если

– совокупность всех нормальных подгрупп группы имеем

Следствие 3.1.8. Тогда и только тогда

– минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не

-разрешимая формация, когда

, где

– простая неабелева

-группа.

Следствие 3.1.9. Тогда и только тогда

– минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не

-разрешимая формация, когда

, где

– простая неабелева

-группа.

Следствие 3.1.10. Тогда и только тогда

– минимальная нормально наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда

, где

– простая неабелева группа.

Минимальные

-замкнутые тотально насыщенные не

-нильпотентные формации.

Группа

называется -нильпотентной, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу для каждого . Класс всех -нильпотентных групп совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.