О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп (стр. 5 из 10)

Теорема 3.2. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-нильпотентная формация, когда

, где

– не

-нильпотентная группа Шмидта.

Доказательство. Пусть

формацию всех -нильпотентных групп.

Необходимость. Пусть

– минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. В силу теоремы 1 имеет место , где – такая монолитическая -минимальная не -нильпотентная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)

– группа простого порядка ;

2)

– неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3)

,

где

– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где

– совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку

, то первые два случая невозможны. Поэтому – абелева -группа, где . По лемме 2.2 имеем . Поэтому , где – группа простого порядка. Таким образом, – не -нильпотентная группа Шмидта.

Достаточность. Пусть

, где – не -нильпотентная группа Шмидта. Поскольку насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа группы , а – группа простого порядка . Так как группа и все собственные подгруппы из нильпотентны, а следовательно, и -нильпотентны, то – -минимальная не -нильпотентная группа и – -нильпотентный корадикал группы . Используя теперь теорему 1 заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. Теорема доказана.

Используя теорему 2, получим

Следствие 3.2.1. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-нильпотентная формация, когда

, где

и

– различные простые числа,

.

В случае, когда

из теорем 3.2 и 2 вытекают

Следствие 3.2.2. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-нильпотентная формация, когда

, где

– не

-нильпотентная группа Шмидта.

Следствие 3.2.3. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-нильпотентная формация, когда

, где

– отличное простое число.