О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп (стр. 6 из 10)

Если теперь

– множество всех простых чисел из теоремы 3.2 получаем

Следствие 3.2.4. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда

, где

– некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.2.5. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда

, где

и

– различные простые числа.

Следствие 3.2.6 [7]. Тогда и только тогда

– минимальная тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда

, где

и

– различные простые числа.

Минимальные

-замкнутые тотально насыщенные не

-замкнутые формации.

Напомним, что группа называется

-замкнутой, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу. Формация всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.3. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-замкнутая формация, когда

, где

– не

-замкнутая группа Шмидта.

Доказательство. Обозначим через

формацию всех -замкнутых групп.

Необходимость. Пусть

– минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. По теореме 1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -замкнутая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)

– группа простого порядка ;

2)

– неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3)

,

где

– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где

– совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Так как

, то . Если – неабелева группа, то по лемме 2.2 имеем . Значит, Противоречие. Поэтому – абелева -группа, где . Значит, для некоторой максимальной подгруппы группы . В силу леммы 2.3 получаем, что – -критическая формация. Согласно лемме 2.2 имеем . Так как , то – группа простого порядка . Таким образом, – не -замкнутая группа Шмидта.

Достаточность. Пусть

, где – не -замкнутая группа Шмидта. Так как – насыщенная формация, то не ограничивая общности можно считать, что . Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа , , – группа простого порядка . Так как группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -замкнуты, то – -минимальная не -замкнутая группа и её -замкнутый корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы можем заключить, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. Теорема доказана.