О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп (стр. 7 из 10)

Следствие 3.3.1. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-замкнутая формация, когда

, где

и

.

В случае, когда

из теоремы 3.3 вытекает

Следствие 3.3.2. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-замкнутая формация, когда

, где

– не

-замкнутая группа Шмидта.

Следствие 3.3.3. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-замкнутая формация, когда

, где

– отличное от

простое число.

Минимальные

-замкнутые тотально насыщенные не

-специальные формации.

Группа называется

-специальной, если она обладает нильпотентной нормальной -холловской подгруппой. Понятно, что совокупность всех -специальных групп совпадает с классом и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.4. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-специальная формация, когда

, где

– не

-специальная группа Шмидта.

Доказательство. Пусть

обозначает формацию всех -специальных групп.

Необходимость. Если

– минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, то по теореме 1 имеет место , где – такая монолитическая -минимальная не -специальная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)

– группа простого порядка ;

2)

– неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3)

,

где

– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где

– совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку

, то случай 1) не имеет место и . Если – неабелева группа, то в силу леммы 2.1 имеем . Поэтому и . Пусть и . Тогда в силу леммы 2.1 имеет место включение . Противоречие. Поэтому невозможен и случай 2). Следовательно, – абелева -группа. Так как имеют место равенства , то , где – группа порядка . Таким образом, – не -специальная группа Шмидта.