Достаточность. Пусть
, где – не -специальная группа Шмидта. Тогда . Поскольку – насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа , а – группа простого порядка . Ввиду того, что группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а следовательно, и -специальны, то – -минимальная не -специальная группа и её -специальный корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация. Теорема доказана.Следствие 3.4.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
, где и – различные простые числа, .В случае, когда
из теоремы 3.4 вытекаетСледствие 3.4.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
, где – не -специальная группа Шмидта.Следствие 3.4.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
, где – отличное от простое число.Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разложимые формации.
Группа называется
-разложимой, если она одновременно -специальна и -замкнута.Класс всех
-разложимых групп совпадает с пересечением и является наследственной тотально насыщенной формацией.Теорема 3.5. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда
, где – не -разложимая группа Шмидта.Доказательство. Обозначим через
формацию всех -разложимых групп.Необходимость. Пусть
– минимальная -замкнутая тотально насыщенная не - разложимая формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем , где – такая группа Шмидта, что . Таким образом, – не - разложимая группа Шмидта.Достаточность. Пусть
, где – не -разложимая группа Шмидта. Поэтому . Ввиду насыщенности формации можно считать, что . Значит, , где – минимальная нормальная -подгруппа , а – группа простого порядка. Поскольку группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -разложимы, то – -минимальная не -разложимая группа и её -разложимый корадикал. В силу теоремы 1 имеем – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация. Теорема доказана.Следствие 3.5.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда
, где .