О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп (стр. 9 из 10)

В случае, когда

из теоремы 3.24 вытекает

Следствие 3.5.2. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-разложимая формация, когда

, где

– не

-разложимая группа Шмидта.

Следствие 3.5.3. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-разложимая формация, когда

, где

– отличное от

простое число.

Минимальные

-замкнутые тотально насыщенные не

-формации.

Класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной не превосходящей

совпадает с произведением (число сомножителей равно ) и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.6. Тогда и только тогда

– минимальная тотально насыщенная не

-формация, когда

, где

– минимальная не

-группа,

– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в

при всех

и

– группа простого порядка.

Доказательство. Обозначим через

формацию

.

Необходимость. Пусть

– минимальная -замкнутая тотально насыщенная не

-формация. По теореме 1 , где – такая монолитическая -минимальная не

-группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)

– группа простого порядка ;

2)

– неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3)

,

где

– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где

– совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку

, то случай 1) невозможен. Если группа

неабелева, то по лемме 2.1 , что невозможно. Следовательно, имеет место случай 3). Поскольку группа разрешима, то , где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а группа простого порядка . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.

Достаточность вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.

Следствие 3.6.1 [2, с. 94]. Пусть

– разрешимая формация. Тогда и только тогда

– минимальная тотально насыщенная не

-формация, когда

, где

– минимальная не

-группа,

– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в

при всех

и

– группа простого порядка.

Следствие 3.6.2. Тогда и только тогда

– минимальная тотально насыщенная не

-формация, когда

для некоторой последовательности

из

.

Следствие 3.6.3 [2, с. 94]. Пусть

– разрешимая формация. Тогда и только тогда

– минимальная тотально насыщенная не

-формация, когда

для некоторой последовательности

из

.