Обобщение классических средних величин (стр. 2 из 10)
Очевидно, квази-средние включают и не взвешенные, обыкновенные средние, если взять
для всех номеров i и те же функции 
, 
, 
. Как мы сказали, эти частные случаи квази-средних удовлетворяют всем условиям сильного определения средней величины. Естественно проверить, какие из условий останутся верными и для построенного обобщения. Рассмотрим условия по порядку.1. Свойство усреднения.
При возрастании x от
до 
возрастает или убывает от 
до 
, и поэтому 
как среднее арифметическое лежит между этими значениями, но тогда в силу непрерывности обратной функции точка 
обязана попасть в отрезок [ 
; 
] = [ 
; 
], то есть 
, и свойство выполняется.2. Свойство возрастания.
Для возрастающей
из 
следует 
и 
, а так как обратная функция 
также возрастает, то 
или 
.В случае убывающей
получаем тот же результат. То есть 
влечёт 
, и свойство выполняется.3. Свойство симметричности.
Мы знаем, что симметричны, например, обычные, невзвешанные среднее арифметическое и геометрическое. Но в общем случае квази-средние, конечно, не симметричны. Можно выделить самый широкий класс симметричных квази-средних – они представляются в виде
.Действительно, пусть М симметрична. Тогда для некоторого набора различных чисел
и произвольной их перестановки 
или 
, и поэтому 
. Обозначив 
, имеем 
, где 
– набор, полученный произвольной перестановкой различных (в силу строгой монотонности функции 
) чисел 
. Покажем, что последнее равенство возможно, только если 
. Рассуждаем по индукции.Для n=2 получаем равенство _______________________________________________________________________________________________________________________________
или 
, откуда 
.Предполагая теперь, что наше утверждение верно для какого-нибудь натурального 
, покажем, что оно будет верным и для
, то есть из равенства 
будет следовать 
.В наборе
фиксируем 
, а остальные 
чисел произвольно переставляем, тогда 
или 
, и поэтому по предположению 
. Аналогично, зафиксировав 
, получаем 
. В результате 
. Индукционный переход обоснован, и мы можем заключить, что наше утверждение верно для любых n. А так как
, то 
.4. Свойство однородности.
Также в общем случае, очевидно, не выполняется. Позже мы покажем, что однородными квази-средними будут только средние степенные.
Итак, по слабому определению квази-средние уже являются средними, но сильному определению они удовлетворяют только наполовину. Поэтому мы и назвали такие величины квази (“почти”)-средними.
Глава 2. Квази-средние и функциональные уравнения
Выше мы определили квази-средние напрямую, конструктивно, но оказывается, что можно дать и аксиоматическое определение, то есть предписать им характеристические свойства. С этой целью отдельно рассмотрим несколько функциональных уравнений, которые также будут использованы нами и для выделения основных классов квази-средних. Напомним, что с помощью свойства симметричности один класс мы уже указали – это величины вида
.1. Решение некоторых функциональных уравнений
Теорема 1. Единственными непрерывными хотя бы в одной точке решениями следующих уравнений являются соответственно функции:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
и 
, x≠0;
7. 
, x>0
Доказательство. 1. Найдём все непрерывные хотя бы в одной точке решения уравнения 
, которое будет основным, так как мы далее сведём к нему все остальные уравнения.