Обобщение классических средних величин (стр. 3 из 10)
Зафиксируем точку х0 из области определения – ту самую, в которой решение непрерывно, и проверим верность равенства
для любого r 
R. 
, что возможно только при
; 
для любого r N; 
для r=0; 
, но тогда
и 
для любого r N, то есть равенство верно для всех целых r.Далее пусть r Q или r=z/n, где p Z и q N. 
и поэтому 
, то есть равенство верно для всех рациональных r.
На последнем шаге используем непрерывность решения в точке х0и тот факт, что любое действительное число представляется как предел некоторой рациональной последовательности.
Если 
, то 
и 
, а так как
, заключаем, что 
для любого r R.Теперь 
, p R (если обозначить не зависящий от х множитель
за p).2. Рассмотрим уравнение 
.
, и поэтому функция 
, непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению
, то есть уравнению 1, и поэтому 
.Точно так же 
, … , 
. Но искомое решение
, pi R.3. Решим уравнение 
.
, откуда 
, и поэтому функция 
, непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению 
, то есть
. Тогда 
.
4. Обратимся к уравнению 
.
Прежде всего заметим, что если 
при каком-либо x0, то для любого x можно заключить 
, то есть 
.
Это одно из решений уравнения, и если существует другое решение, то оно не обращается в нуль ни в одной точке. Тогда 
. Но для положительной всюду 
можно определить функцию 
, которая непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению
, то есть 
. Откуда 
, где 
.
5. Рассмотрим уравнение 
.
, и поэтому 
, и поэтому 
, то есть g(x) – чётная функция.
Очевидно, если g(x)≠0, то она не определена при х=0. Действительно, если существует g(0), то
, откуда –тривиальное решение, существование которого очевидно. Таким образом уравнение достаточно рассматривать при х>0, а на отрицательную полуось решение продолжить чётным образом.Определим функцию 
, где 
для любого х. G(x) непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению 
, то есть 
. Откуда 
, где 
. И с учётом чётного продолжения 
.
6. Уравнение 
также сведём к уравнению 1.
Прежде всего заметим, что если
при каком-либо 
, то для любого x можно заключить 
, то есть –тривиальное решение. Далее 
, и так как 
для нетривиального решения, то из этого равенства следует, что 
. Но тогда 
и g(–1)= 
1.
Если 
, то 
, и g(x) – чётная функция. Если же 
, то 
, и g(x) – нечётная функция. Таким образом g(x) достаточно найти при х>0, а на отрицательную полуось решение продолжить или чётным, или нечётным образом, получив тем самым два решения функционального уравнения.