Обобщение классических средних величин (стр. 4 из 10)
При х>0 
, так как
– мы ищем нетривиальное решение. Поэтому можно определить функцию 
, которая непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению 
, то есть 
. Откуда 
.И с учётом чётного и нечётного продолжений имеем два решения 
и 
, x≠0. Для k>0 функции можно по непрерывности доопределить и в нуле, но для k<0 это сделать невозможно. Заметим, что при k=0 вторая функция есть
, и мы получаем пример разрывного решения.7. И уравнение 
решим, используя предыдущее уравнение.
, и поэтому функция 
, непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению 
, но тогда по доказанному для x>0 имеем 
(в этом случае ограничимся положительными x, так как далее решение на всей числовой прямой нам не понадобится).
Аналогично, 
, … , 
. Но искомое решение
, pi 
R.
2. Характеристическое свойство квази-средних
Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев – простейших средних. Так взвешенные среднее арифметическое
и среднее геометрическое 
можно определить как непрерывные хотя бы в одной точке решения функциональных уравнений 
и 
соответственно, а также эти решения должны удовлетворять условию усреднения, иначе не обязательно 
и 
. Первое условие есть результат теоремы 1, а второе условие мы докажем далее в общем случае.Заметим, что операцию умножения, которая используется в уравнении для среднего геометрического, можно представить как
, где 
, то есть функция, задающая среднее геометрическое. Операция сложения в уравнении для среднего арифметического представляется аналогично, но с функцией 
.Тогда вообще для квази-средних рассмотрим операцию, обобщающую сложение и умножение,
, где 
– произвольная непрерывная, строго монотонная функция, множество значений которой – один из промежутков (– 
;а), (– ;а], (b; 
), [b; ), (– ; ), где a≤0 и b≥0, что гарантирует существование операции для любых x и y из области определения функции 
. Сформулируем общий результат, выражающий аксиоматическое определение квази-средних [1].Теорема 2. Квази-средние – это такие функции 
от n переменных, для которых выполнены условия:
1) непрерывность хотя бы в одной точке;
2) 
;
3)
.Доказательство. Очевидно, что квази-средние, ранее определённые как
удовлетворяют перечисленным свойствам. Важно показать обратное – других величин с данными свойствами не существует. Для этого выведем вид функций 
, исходя из указанных условий.Распишем уравнение 
, используя определение операции
:
==
, 
==
Далее, если определить
и обозначить 
, 
, то последнее выражение перепишется так 
, где функция H непрерывна хотя бы в одной точке. Тогда единственной такой функцией будет 
, pi R. Возвращаясь к прежним переменным и функциям, найдём 
, pi R.Осталось показать, что
и 
. Используем свойство усреднения найденного решения: 
.Возьмём
, но тогда 
или 
, и поэтому 
. А если предположить, что какое-то 
, то для 
и 
, 
имеем 
= 
==
, что противоречит условию.Аналогично можно определить квази-средние вида
.Теорема 3. Квази-средние вида 
– это такие функции 
от n переменных, для которых выполнены условия: