Обобщение классических средних величин (стр. 5 из 10)

1) непрерывность хотя бы в одной точке;

2)

;

3) рефлексивность, то есть

;

4) симметричность.

Действительно, свойства 1 и 2 выделяют функции

, p_i

R, далее свойство 3 обеспечивает , а из свойства 4 вытекает .

Теперь мы можем аксиоматически задавать частные случаи квази-средних, указывая для них свои операции в функциональном уравнении

. Например:

для среднего арифметического

задающая его функция , и поэтому ;

для среднего геометрического

, ;

для среднего гармонического

, ;

для среднего квадратичного

, .

3. Тождественные квази-средние

Квази-среднее

определено, если задана функция . Возникает естественный вопрос, справедливо ли обратное предложение: если для любых или и –тождественны, то следует ли отсюда, что задающие их функции и также тождественны. Ответ на этот вопрос даёт следующая

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием тождественности квази-средних

и

является условие

, где

.

Доказательство. Если указанное условие выполняется, то

, и поэтому

= или = для любых , то есть условие достаточно.

Обратно, пусть

= , = или . Обозначая и , перепишем = .

Сведём это равенство к функциональному уравнению. Возьмём точку

из области значений функции и представим . Тогда = или = . Полагая , где

для каждого i, найдём

=

, где

не зависит от .

Поэтому

= , что с обозначениями

,

,

перепишется так:

.

Тогда решением этого функционального уравнения будет функция

,

, где

. Так как

, то , или , если взять .

Таким образом, чтобы задать одно и то же квази-среднее

мы можем взять любую функцию из целого класса функций , где а≠0 и b – произвольные постоянные, и другого способа получить тождественные квази-средние не существует.

4. Однородные квази-средние

Ранее мы говорили, что квази-средние в общем случае неоднородны, то есть соотношение

для любых не выполняется, но их подкласс – взвешенные средние степенные обладают однородностью. Теперь покажем, что других квази-средних с данным свойством не существует [2].

Теорема 5. Взвешенные средние степенные – единственные однородные квази-средние.

Доказательство. Предположим, что равенство

имеет место, и выведем из него вид задающей квази-среднее функции

. Перепишем

или = . Получили тождественные квази-средние, заданные функциями и . В силу теоремы 4 имеем (*), где и – функции от λ, ≠0. Также мы можем положить .