Обобщение классических средних величин (стр. 6 из 10)
Тогда
. Подставляя теперь 
в (*) и заменяя λ на y, найдём, что 
(**). Аналогично 
.Последние два равенства дают
для x, y≠1 (***). Отсюда следует, что функции в левой и правой частях (***) равны постоянной d, то есть
.Из (**) вытекает сейчас равенство
, которое, очевидно, справедливо и для значений x=1 и y=1, и поэтому ограничение на (***) несущественно.Итак, мы получили функциональное уравнение
, рассматривая его, различаем два случая:1) при d=0
, и поэтому для x>0 
;2) при d≠0 полагая
, сведём уравнение к 
, и поэтому для x>0 
и 
.В первом случае по теореме 4 о тождественных квази-средних
можно заменить на 
, и тогда получаем среднее геометрическое, которое принято считать частным случаем среднего степенного при 
. Во втором, заменяя 
на 
– среднее степенное.Следствие. Средние степенные – единственный класс квази-средних, удовлетворяющих сильному определению средней величины.
5. Аддитивные квази-средние
Рассмотрим ещё один класс квази-средних. Назовём свойство
аддитивностью и найдём все квази-средние с данным свойством.Теорема 6. Взвешенное среднее арифметическое и квази-среднее, заданное показательной функцией 
– единственные аддитивные квази-средние.
Доказательство. Аддитивность указанных квази-средних показывается простой проверкой. Для доказательства их единственности предполагаем, что равенство
имеет место, и выводим из него вид задающей квази-среднее функции 
. Переписываем соотношение 
или 
= 
. Получаем тождественные квази-средние, заданные функциями 
и 
. В силу теоремы имеем 
(*), где 
и 
– функции от t, 
≠0, а также можем положить 
.Далее рассуждая аналогично предыдущей теореме, приходим к функциональному уравнению
, рассматривая которое, вновь различаем два случая:1) при d=0
, и поэтому 
;2) при d≠0 полагая
, сведём уравнение к 
, и поэтому 
и 
.В первом случае имеем среднее арифметическое. Во втором – квази-среднее, заданное показательной функцией
.И в заключении этой главы на основе доказанных теорем 5 и 6 простое
Следствие. Взвешенное среднее арифметическое – единственное однородное и одновременно аддитивное квази-среднее.
Глава 3. Квази-средние и выпуклые функции
Для классических средних существует множество неравенств, которые могут быть обобщены в различных направлениях. Одним из таких обобщений являются неравенства для квази-средних, которые мы и рассмотрим в этой главе. Как их частные случаи мы также получим основные неравенства для средних степенных (неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом; неравенства, характеризующие свойство монотонности средних степенных; неравенство Гюйгенса; неравенство Гёльдера) и их аналоги.
Как в основе доказательств приведённых ранее теорем лежали функциональные уравнения, так и сейчас нам будет важно отдельно рассмотреть ряд положений, касающихся выпуклых функций.
1. Некоторые вопросы теории выпуклых функций
Выпуклые функции определяются по-разному, но наиболее естественным, пожалуй, является основанное на геометрических соображениях такое
Определение. Функция
называется выпуклой вниз (вверх) на промежутке X, если любая хорда кривой 
лежит не ниже (не выше) дуги, которую эта хорда стягивает.Далее будем рассматривать выпуклые вниз функции, а все результаты для выпуклых вверх функций при желании можно получить простым обращением знака в неравенствах.
Теорема 7 (неравенство Иенсена). Для того, чтобы непрерывная функция 
была выпуклой вниз на промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 
для всех 
и 
, 
, 
.
Доказательство[2]. Выясним вначале, что геометрически означает указанное неравенство при n=2. Любая точка
может быть представлена в виде 
, где 
, 
. Так как концы хорды – это точки 
и 
, то точка хорды с абсциссой x имеет ординату 
. Таким образом неравенство 
означает, что при 
точка графика функции лежит не выше соответствующей точки хорды, и это верно для любой точки хорды, так как мы берём любые pi при условии , 
.И поэтому для непрерывной функции определение выпуклости вниз и данное неравенство при n=2 эквивалентны.
Покажем сейчас, что это неравенство справедливо и для любого числа точек. Рассуждаем по индукции. Если
, то 