Обобщение классических средних величин (стр. 7 из 10)

и т.д.

Верно и обратное, если неравенство

выполняется для какого-то n>2, то оно выполняется и для n=2.

Действительно, перепишем

и возьмём для . Тогда , где , и .

Очевидно, если все

равны друг другу, то мы получаем равенство в нашем неравенстве. В противном случае равенство при n=2 ( ) означает, что любая хорда кривой совпадает с дугой, которую эта хорда стягивает, то есть функция линейна. Мы можем поэтому сделать следующее

Замечание. Если функция

не линейна на промежутке X, то равенство в неравенстве Иенсена достигается только тогда, когда все

равны друг другу.

Таким образом определение выпуклой функции и данное неравенство для любого n эквивалентны. Поэтому выполнимость неравенства, если необходимо, мы можем считать аналитическим определением выпуклой функции.

Теорема 8 (аналог неравенства Иенсена). Для выпуклой вниз на отрезке

функции

справедливо неравенство

для всех

и

,

,

.

Доказательство. Представив

, , где , докажем вначале вспомогательное утверждение. Справедливо неравенство , . Действительно,

Теперь имеем:

.

Равенство в нашем неравенстве достигается только тогда, когда обеспечивается равенство в каждой из произведённых оценок. Поэтому, если функция

не линейна, то равенство будет только тогда, когда равны либо

, либо , что следует из условия , и только тогда, когда все равны друг другу, что следует из условия . В результате мы имеем такое

Замечание. Если функция

не линейна на

, то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все

равны a или все

равны b.

И важная для практического применения теорем 7 и 8, позволяющая определять выпуклость достаточно широкого класса функций

Теорема 9 (достаточный признак выпуклой функции). Если функция

дважды дифференцируема в некотором интервале и

(

), то

выпукла вниз (вверх) на этом интервале.

Доказательство[4]. Если

, то , и по формуле Тейлора . Умножая на p_i и складывая эти равенства, мы получаем , а отсюда в силу заключаем, что .

Теперь приведём определение выпуклой функции от двух переменных и сформулируем аналогичные утверждения, доказательства которых будут теми же, если не считать очевидных изменений в обозначениях.

Определение. Функция

называется выпуклой вниз (вверх) в выпуклой области D (то есть области, целиком содержащей отрезок, соединяющий любые её точки), если любая хорда поверхности лежит не ниже (не выше) соответствующей дуги на поверхности, которую эта хорда стягивает.

Теорема 10 (неравенство Иенсена). Для того, чтобы непрерывная функция

была выпуклой вниз в области D, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

для всех

и

,

,

.

Теорема 11 (аналог неравенства Иенсена). Для выпуклой вниз в прямоугольной области

,

,

функции

справедливо неравенство

,

для всех

,

,

,

,

.

Теорема 12 (достаточный признак выпуклой функции). Если функция

дважды дифференцируема в некоторой открытой области и

,

,

,

,

, то

выпукла вниз (вверх) в этой области.

Сейчас на основе доказанных теорем перейдём непосредственно к обобщениям неравенств Коши и Гёльдера и их аналогам.