2. Обобщение неравенства Коши и его аналог
Известное неравенство Коши
или говорит о том, что среднее геометрическое и среднее арифметическое сравнимы для любых чисел xi>0 и любых весов , , .Возникает вопрос, будут ли сравнимы квази-средние, их обобщающие, то есть справедливо ли неравенство
≤ , или ≤ .Теорема 13 (о сравнении квази-средних). Для того, чтобы выполнялось неравенство ≤ , или ≤ для всех , , , необходимо и достаточно, чтобы функция была выпуклой вниз, если возрастает, или выпуклой вверх, если убывает.
Доказательство[2]. Пусть
возрастает. Тогда из неравенства ≤ следует . Обозначая и , получаем ≤ , то есть мы просто переписываем неравенство ≤ в другой форме. Новое же неравенство по теореме 7 справедливо тогда и только тогда, когда функция , или выпукла вниз.При убывании
рассуждаем аналогично.Замечание. Если , где , на некотором промежутке, содержащем все , то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все равны друг другу.
Действительно, пусть
= . Тогда = , и поэтому если функция не линейна, то есть , или , то равенство достигается только тогда, когда все все , а следовательно, и , равны друг другу.Отметим, что данное замечание даёт другое доказательство теоремы 4 о тождественных квази-средних.
Теорема 14. Для того, чтобы выполнялось неравенство ≤ для всех и , , , достаточно, чтобы функция была выпуклой вниз, если возрастает, или выпуклой вверх, если убывает.
Доказательство. Точно так же, как и в предыдущей теореме, приводим данное неравенство к неравенству
(или ему обратному при убывании ), которое по теореме 8 вновь верно при условии, что функция , или выпукла вниз (вверх()овь верно при тех же условиях________________________________________________________________________________________________).Замечание. Если , где , на отрезке , то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все равны a или все равны b.
Теорема 13 позволяет нам как частные случаи получить известные неравенства для средних степенных [3]. Приведём эти неравенства.
Пример 1 (неравенство, характеризующее свойство монотонности среднего степенного). Для
, , 0<r<s функция выпукла вниз (так как её вторая производная неотрицательна), и поэтому , где , , , , или .Пример 2 (неравенство Коши). Для
и функция выпукла вниз, и поэтому , где , , , или .Пример 3 (неравенство Гюйгенса). Для
и функция выпукла вниз, и поэтому , где , , , или .Пример 4 (неравенство Бернулли). Для
и функция выпукла вниз, и поэтому , где , , , или . В частности, если положить , , , то получим так называемое обобщённое неравенство Бернулли ( ).