Обобщение классических средних величин (стр. 9 из 10)

Замечание. Равенство в вышеуказанных примерах имеет место тогда и только тогда, когда все

равны друг другу (так как в каждом случае
).

На основании же теоремы 14 мы получаем аналоги приведённых неравенств.

Пример 1^/.

, где
,
,

,
,

Пример 2^/.

, где
,

,
,

Пример 3^/.

, где
,

,
,

Пример 4^/.

, где

Замечание. Равенство в вышеуказанных примерах имеет место тогда и только тогда, когда все

равны a или все

равны b.

3. Обобщение неравенства Гёльдера и его аналог

Один из вариантов неравенства Гёльдера (для средних значений) выглядит так [2]:

, где

,
,

Запишем его в следующей форме

с квази-средними, заданными функциями

, или

. Снова, как и для обобщения неравенства Коши, зададимся вопросом, будет ли неравенство Гёльдера выполнятся для произвольных квази-средних.

Теорема 15. Для того чтобы выполнялось неравенство

для всех

,
,

, необходимо и достаточно, чтобы
=
была выпуклой вверх функцией, если
возрастает, или выпуклой вниз функцией, если
убывает.

Доказательство. Пусть

возрастает. Тогда наше неравенство эквивалентно неравенству

. Полагая
=
и

, переписываем
. А новое неравенство по теореме 10 справедливо тогда и только тогда, когда функция
или
выпукла вверх.

При убывании

рассуждаем аналогично.

Теорема 16. Для того, чтобы для всех

и
,
,
выполнялось неравенство

достаточно, чтобы функция
=
была выпуклой вверх, если
возрастает, или выпуклой вниз, если
убывает.

Доказательство точно так же, как и предыдущей теореме, сводим к теореме 11.

Теоремы 15 и 16 содержат как частные случаи следующие известные неравенства и их аналоги.

Пример 1 (неравенство Гёльдера). Для

функция
=
=
по теореме 12 выпукла вверх, если

, и поэтому

для

Пример 2 (неравенство Коши-Буняковского). Для

, где

,
,

Пример 1^/ (аналог неравенства Гёльдера).

, где

,
,