Обозначения и определения тензорной алгебры (стр. 2 из 2)
Имеется еще одна операция, называемая внутренним умножением, которая не является новой, так как в действительности она является комбинацией умножения и свертывания. Чтобы выполнить эту операцию над двумя объектами, мы сначала перемножаем их, а затем свертываем произведение по нижнему индексу одного объекта и верхнему индексу другого. Таким образом, внутреннее произведение двух объектов есть, например,
4. Симметричные и антисимметричные объекты
Если мы имеем объект аmn с двумя нижними индексами, то может случиться, что каждая из составляющих не изменится по величине и знаку при перемене мест индексов, т. е.
Такой объект называют симметричным. В более общем случае объект, имеющий любое число нижних индексов, называется симметричным относительно двух из них, если составляющие не изменяются при перемене мест этих двух индексов. Объект называется абсолютно симметричным относительно нижних индексов, если при перемене мест любых двух из них составляющие не изменяются. Абсолютно симметричный объект третьего порядка будет, следовательно, удовлетворять соотношениям
С другой стороны, объект аmn называется антисимметричным, если перемена мест индексов изменяет знак составляющей, но не изменяет ее численного значения; в таком случае мы имеем
Эти равенства, выписанные полностью, выглядят так:
откуда мы немедленно заключаем, что
Как и выше, объект может быть антисимметричным либо относительно двух каких-нибудь нижних индексов, либо относительно всех пар индексов; в последнем случае объект называется абсолютно антисимметричным. Абсолютно антисимметричный объект третьего порядка должен удовлетворять соотношениям 
Все сказанное выше о симметрии и антисимметрии в равной степени применимо и к верхним индексам.
Литература
1. Рашевский П.К., Риманова геометрия и тензорный анализ, Гостехиздат, Москва, 1953.
2. Гуревич Г.В., Основы теории алгебраических инвариантов, Гостехиздат, Москва, 1948.
3. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, вып. I—X, Гостехиздат, Москва, 1933, 1956.
4. Каган В.Ф., Основы теории поверхностей, т, 1, Гостехиздат, Москва, 1943, т. Ц, Москва, 1947.