Обработка результатов измерений (стр. 2 из 8)
Примером абсолютных измерений может служить определение длины в метрах, силы электрического тока в амперах, ускорения свободного падения в метрах на секунду в квадрате.
Относительными называются измерения отношения величины к одноименной величине, играющей роль единицы, или измерения величины по отношению к одноименной величине, принимаемой за исходную.
В качестве примера относительных измерений можно привести измерение относительной влажности воздуха, определяемой как отношение количества водяных паров в 1 м3 воздуха к количеству водяных паров, которое насыщает 1 м3 воздуха при данной температуре.
Основными характеристиками измерений являются: принцип измерений, метод измерений, погрешность, точность, правильность и достоверность.
Принцип измерений – физическое явление или совокупность физических явлений, положенных в основу измерений. Например, измерение массы тела при помощи взвешивания с использованием силы тяжести, пропорциональной массе, измерение температуры с использованием термоэлектрического эффекта.
Метод измерений – совокупность приемов использования принципов и средств измерений. Средствами измерений являются используемые технические средства, имеющие нормированные метрологические свойства.
Погрешность измерений – разность между полученным при измерении X' и истинным Q значениями измеряемой величины:
Погрешность вызывается несовершенством методов и средств измерений, непостоянством условий наблюдения, а также недостаточным опытом наблюдателя или особенностями его органов чувств.
Точность измерений – это характеристика измерений, отражающая близость их результатов к истинному значению измеряемой величины.
Количественно точность можно выразить величиной, обратной модулю относительной погрешности:
Например, если погрешность измерений равна
то точность равна 
.Правильность измерения определяется как качество измерения, отражающее близость к нулю систематических погрешностей результатов (т.е. таких погрешностей, которые остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины). Правильность измерений зависит, в частности, от того, насколько действительный размер единицы, в которой выполнено измерение, отличается от ее истинного размера (по определению), т.е. от того, в какой степени были правильны (верны) средства измерений, использованные для данного вида измерений.
Важнейшей характеристикой качества измерений является их достоверность; она характеризует доверие к результатам измерений и делит их на две категории: достоверные и недостоверные, в зависимости от того, известны или неизвестны вероятностные характеристики их отклонений от истинных значений соответствующих величин. Результаты измерений, достоверность которых неизвестна, не представляют ценности и в ряде случаев могут служить источником дезинформации.
Наличие погрешности ограничивает достоверность измерений, т.е. вносит ограничение в число достоверных значащих цифр числового значения измеряемой величины и определяет точность измерений.
Обработка результатов косвенных измерений
Пусть при косвенных измерениях величина Z рассчитывается по экспериментальным данным, полученным по mизмерениям величин aj:
(2.3.11)Запишем полный дифференциал функции:
(2.3.12)В случае слабой зависимости функции от аргументов её приращение может быть выражено в виде линейной комбинации
. Согласно (2.3.12) получим: 
(2.3.13)Каждое слагаемое в (2.3.13) представляет собой частную погрешность результата косвенных измерений.
Производные
называется коэффициентами влияния соответствующих погрешностей.Формула (2.3.13) является приближённой, т. к. учитывает только линейную часть приращений функции. В большинстве практических случаев такое приближение оправдано.
Если известны систематические погрешности
прямых измерений 
то формула (2.3.13) позволяет рассчитать систематическую погрешность косвенных измерений.Если частные производные в (2.3.13) имеют разные знаки, то происходит частичная компенсация систематических погрешностей.
Если формула (2.3.13) используется для вычисления предельной погрешности, то она принимает вид:
(2.3.14)Рассмотрим, как, используя формулу (2.3.13), можно оценить случайную погрешность косвенных измерений.
Пусть погрешность прямых измерений
имеет нулевое математическое ожидание 
и дисперсию 
.Использую (2.3.13) запишем выражения для математического ожидания и дисперсии погрешности косвенных измерений
Математические ожидания отдельных измерений складываются с учетом вклада каждого из них: 
(2.3.15)Для вычисления дисперсии воспользуемся правилом сложения погрешностей:
(2.3.16)Где
– коэффициент корреляции погрешностей 
.Если погрешности
не коррелированны, то
(2.3.17)Обработка результатов прямых измерений
Пусть результаты прямых измерений равны n прямых измерений равны
y 1, y 2,…, yn. Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно a, тогда
погрешность i– го измерения.Относительно погрешности предполагаются следующие допущения:
1)
– случайная величина с нормальным распределением.2) Математическое ожидание
(отсутствует систематическая погрешность)3) Погрешность
имеет дисперсию 
, которая не меняется в зависимости от номера измерения, т.е. измерение равноточное.4) Измерения независимы.
При этих допущениях плотность распределения результата измерения
запишется в виде: 
(2.3.1)В данном случае истинное значение измеряемой величины a входит в формулу (2.3.1) как параметр.
Вследствие независимости отдельных измерений плотность распределения системы величин y 1, y 2,…, yn. выражается формулой:
. (2.3.2)С учетом (2.3.1) и независимости y 1, y 2,…, yn. их многомерная плотность распределения (2.3.2) представляет собой функцию правдоподобия:
(2.3.3)Используя функцию правдоподобия (2.3.3) необходимо найти оценку ao для измеряемой величины a таким образом, чтобы в (2.3.3) a = aoвыполнялось условие:
(2.3.4)Для выполнения (2.3.4) необходимо, чтобы
(2.3.5)По сути условие (2.3.5) является формулировкой критерия наименьших квадратов, т.е. для нормального распределения оценки по методу наименьших квадратов и методу максимального правдоподобия совпадают.
Из (2.3.4) и (2.3.5) можно получить также наилучшую оценку
(2.3.6)Важно понимать, что полученная оценка является случайной величиной с нормальным распределением. При этом
(2.3.7)Таким образом, получая
, мы увеличиваем точность измерений, т. к. дисперсия этой величины в n раз меньше дисперсии отдельных измерений. Случайная погрешность при этом уменьшится в 
раз.Для оценки неопределенности величины
необходимо получить оценку погрешности (дисперсии). Для этого прологарифмируем функцию максимального правдоподобия (2.3.3) и оценку дисперсии найдем из условия