Обработка результатов измерений (стр. 3 из 8)
(2.3.8)После дифференцирования получим
(2.3.9)а далее, из (2.3.9) – оценку дисперсии
: 
(2.3.10)Таким образом мы доказали, что для нормально распределенных данных СКО является лучшей оценкой дисперсии.
Обработка результатов совместных измерений
При совместных измерениях полученные значения используются для построения зависимостей между измеряемыми величинами. Рассмотрим многофакторный эксперимент, по результатом которого должна быть построена зависимость
Предположим далее, что зависимость
то есть параметр состояния есть линейная комбинация из входных факторов. В процессе эксперимента проводится совместных измерений для нахождения коэффициентов 
В этом случае искомые величины определяются в результате решения системы линейных уравнений:
(2.3.18)Где
– искомые коэффициенты зависимости, которую необходимо определить, 
– измеряемые значения величин.В предположении, что система уравнений (2.3.18) является точной, но значения
получены с погрешностями, запишем: 
(2.3.19)где
– погрешность измерения 
, тогда 
(2.3.20)Для решения задачи мы вынуждены использовать значения
. При этом, если число измерений больше числа неизвестных в уравнении (2.3.18), то система (2.3.18) не имеет однозначных решений.Поэтому уравнения системы (2.3.18) иногда называют условными.
Оценим случайную погрешность совместных измерений. Пусть погрешность
имеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией. Измерения независимы. В этом случае по аналогии с обработкой прямых измерений может быть построена функция максимального правдоподобия:
(2.3.21)Для нахождения экстремума функции правдоподобия (2.3.21) воспользуемся уже известной процедурой. Прологарифмируем (2.3.21) и найдём значения, при которых функция достигает экстремума. Условие максимума функции (2.3.21) является:
(2.3.22)Таким образом ((2.3.22)) отвечает требованиям метода наименьших квадратов. Следовательно, при нормальном распределении случайной погрешности оценки по методу максимального правдоподобия и по методу наименьших квадратов совпадает.
Для нахождения оценки
удовлетворяющей (2.3.22) необходимо добиться равенства нулю всех частных производных этой функции по Для каждого значения
эта оценка будет находиться из следующего уравнения: 
(2.3.23)Система уравнений (2.3.23) является линейной относительно
и называется системой нормальных уравнений. Число уравнений в системе всегда совпадает с числом .Система (2.3.23) решается методом определителей
Где D– определитель матрицы
а определитель Dj получается из определителя Dзаменой j-го столбца столбцом свободных членов.Для нахождения оценки дисперсии результатов
найдем условие максимума после логарифмирования (2.3.21) и подставим 
(см. (2.3.8–2.3.10)), получим: 
Построение функциональной зависимости при однофакторном эксперименте
Пусть при однофакторном эксперименте имеется выборка, описывающая изменения входных параметров, и набор выходных величин (рис. 3.1). Необходимо построить зависимость
. 
Рис. 3.1
Для анализа экспериментальных данных существует очень много способов задания этой зависимости аналитическими и численными методами. Мы отметим лишь самые распространенные из них:
1. Дальнейшая обработка может проводиться при непосредственном численном использовании массива значений
.2. 2. В случае, когда количество измерений i не слишком велико и разброс значений
мал, зависимость может быть построена путем интерполяции (аппроксимации) через все экспериментальные точки. В этом случае проводится зависимость через все точки с координатами . Простейший вариант проведения такой зависимости заключается в построении полинома (степенного ряда).Пусть
(3.1.1)Интерполирующая функция
Многочлен
имеет n +1 член.Требуя выполнения условия (3.1.1), получим систему из
уравнений с неизвестными: 
(3.1.2)где каждому
соответствует свое уравнение.Вместо решения системы уравнений (3.1.2) на практике используются более удобные и менее трудоемкие способы, в частности:
· интерполирование многочленом Лагранжа;
· интерполирование многочленом Ньютона.
Интерполяционные формулы Ньютона особенно удобны в случае равноотстоящих узлов (
одинаково для всех i). В случае, если i велико (большое число узлов), интерполяционный многочлен имеет высокую степень и оказывается неудобным для вычислений.3. При слишком высокой степени полинома проблемы можно избежать, разбив отрезок интерполяции на несколько частей с построением для каждой из них своего интерполяционного многочлена. Такое интерполирование имеет серьезный недостаток: в точках стыка интерполяционных многочленов оказывается разрывной первая производная. На рисунке 3.2 показан простейший способ такой интерполяции экспериментальной зависимости – соединение соседних точек прямыми (многочлен степени
).4. Если необходимо, чтобы зависимость имела непрерывные производные, пользуются сплайнами.
Сплайн (от англ. spline– рейка) – функция, являющаяся алгебраическим многочленом на каждом отрезке
и непрерывная во всей области вместе со своими производными. Чаще всего пользуются сплайнами третьей степени. Соответствующая зависимость показана на рис. 3.2 курсивом. 
Рис. 3.2.
5. При однофакторном эксперименте, когда имеются результаты многократных измерений со случайной погрешностью (см. параграф 2.2 настоящего пособия), проведение зависимости через все экспериментальные точки бессмысленно. Чаще всего в этом случае для построения функциональной зависимости пользуются методом наименьших квадратов (МНК).