Численные методы линейной алгебры (стр. 1 из 3)

Содержание

Введение

1. Метод Гаусса

2. Модификации метода Гаусса

3. Метод прогонки

4. Вычисление определителей

5. Вычисление обратных матриц

6. Итерационные методы

Заключение

Список литературы

Введение

Основной целью реферата является изучение и сравнительный анализ численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, вычисления определителей и обратных матриц; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач на ЭВМ.

В общем случае система линейных алгебраических уравнений имеет вид

(1)

В матричной форме система (1) представляется как

A X = B(2)

где

Чтобы такая система уравнений имела единственное решение, входящие в нее n уравнений должны быть линейно независимыми. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя данной системы, т.е. det A ¹ 0. Алгоритмы решения систем уравнений такого типа делятся на прямые и итерационные.

1. Метод Гаусса

Данный метод также называется методом последовательного исключения неизвестных. Он относится к группе прямых методов и основан на преобразовании исходной системы к эквивалентной форме с треугольной матрицей коэффициентов.

При использовании метода Гаусса задача решается в два этапа:

1) прямой ход;

2) обратный ход.

Прямой ход заключается в преобразовании системы к треугольному виду.

При обратном ходе производится вычисление значений неизвестных.

Прямой ход метода Гаусса. Для получения расчетных формул прямого хода преобразуем исходную систему (1), заменив элементы b_i (

) на a_i,n+1. В результате система (1) будет иметь следующий вид

Прямой ход выполняется за (n-1) шагов, причем на каждом шаге из уравнений с номерами k + 1, k + 2, …, n исключается неизвестное x_k.

На первом шаге сначала первое уравнение делится на a₁₁ ¹ 0. Получим

(3)

где

Затем из каждого оставшегося уравнения вида

( )

вычитается полученное уравнение (3), умноженное на коэффициент a_i1. В итоге, после выполнения первого шага прямого хода система уравнений примет следующий вид

(4)

где

На втором шаге указанные выше действия повторяются над (n - 1) уравнениями системы (4), всеми кроме первого, с целью исключения переменной x₂, где

В итоге получим

где

Повторяя шаги прямого хода (n - 1) раз, окончательно получим систему уравнений треугольного вида

(5)

где

При программной реализации прямого хода используется расширенная матрица коэффициентов A¢

,

для которой элементы имеют следующий смысл

1)

- начальные значения;

2)

- промежуточные значения;

3)

- конечные значения.

Для определения элементов

матрицы A¢ на некотором k-ом шаге

(

)

используются следующие расчетные формулы

Обратный ход метода Гаусса. После приведения исходной системы уравнений (1) к треугольному виду (5) вычисляются значения корней по следующим формулам

Таким образом, расчетные формулы обратного хода имеют вид

Вычислительная сложность метода Гаусса оценивается как O(n³), причем для реализации прямого хода требуется около

арифметических операций, а для обратного – около n² операций.

2. Модификации метода Гаусса

Метод Гаусса с выбором главного элемента. Основным ограничением метода Гаусса является предположение о том, что все элементы

, на которые производится деление на каждом шаге прямого хода, не равны нулю. Эти элементы называются главными элементами и располагаются на главной диагонали матрицы A.

Если на некотором шаге прямого хода главный элемент

= 0, то дальнейшее решение системы невозможно. Если главный элемент имеет малое значение, близкое к нулю, то возможен сильный рост погрешности из-за резкого возрастания абсолютной величины получаемых в результате деления коэффициентов. В таких ситуациях метод Гаусса становится неустойчивым.

Исключить возникновение подобных случаев позволяет метод Гаусса с выбором главного элемента.

Идея этого метода состоит в следующем. На некотором k-м шаге прямого хода из уравнений исключается не следующая по номеру переменная x_k, а такая переменная, коэффициент при которой является наибольшим по абсолютной величине. Этим гарантируется отсутствие деления на нуль и сохранение устойчивости метода.

Если на k-м шаге в качестве главного элемента выбирается

¹ , то в матрице A¢ должны быть переставлены местами строки c номерами k и p и столбцы с номерами k и q.

Перестановка строк не влияет на решение, так как соответствует перестановке местами уравнений в системе, но перестановка столбцов означает изменение нумерации переменных. Поэтому информация обо всех переставляемых столбцах должна сохраняться, чтобы после завершения обратного хода можно было бы восстановить исходную нумерацию переменных.

Существуют две более простые модификации метода Гаусса:

- с выбором главного элемента по столбцу;

- с выбором главного элемента по строке.

В первом случае в качестве главного элемента выбирается наибольший по абсолютной величине элемент k-й строки (среди элементов

, i = ). Во втором - наибольший по абсолютной величине элемент k-го столбца (среди элементов , i = ). Наибольшее распространение получила первый подход, поскольку здесь не изменяется нумерация переменных.

Следует заметить, что указанные модификации касаются только прямого хода метода Гаусса. Обратный ход выполняется без изменений, но после получения решения может потребоваться восстановить исходную нумерацию переменных.

LU-разложение. В современном математическом обеспечении ЭВМ метод Гаусса реализуется с использованием LU-разложения, под которым понимают представление матрицы коэффициентов A в виде произведения A = LU двух матриц L и U, где L – нижняя треугольная матрица, U - верхняя треугольная матрица

Если LU-разложение получено, то решение исходной системы уравнений (2) сводится к последовательному решению двух следующих систем уравнений с треугольными матрицами коэффициентов

L Y = B;(6)

U X = Y(7)

линейный алгебраический уравнение численный

где Y =

- вектор вспомогательных переменных.

Такой подход позволяет многократно решать системы линейных уравнений с разными правыми частями B. При этом наиболее трудоемкая часть (LU-разложение матрицы A) выполняется только один раз. Эта процедура соответствует прямому ходу метода Гаусса и имеет оценку трудоемкости O(n³). Дальнейшее решение систем уравнений (6) и (7) может выполняться многократно (для различных B), причем решение каждой из них соответствует обратному ходу метода Гаусса и имеет оценку вычислительной сложности O(n²).

Для получения LU-разложения можно воспользоваться следующим алгоритмом.

1. Для исходной системы (1) выполнить прямой ход метода Гаусса и получить систему уравнений треугольного вида (5).

2. Определить элементы матрицы U по правилу

u_ij = C_ij (i =

; j = )