Определение интегралов (стр. 2 из 2)

Так как выражение в скобках подобрано так, чтобы оно равнялось нулю, подставим найденное значение

в уравнение для определения u.

Таким образом находим общее решение системы

Подберем переменную С так чтобы выполнились начальные условия

, что будет являться частным решением дифференциального уравнения:

Полученное частное решение дифференциального уравнения, соответствующее поставленным начальным условиям.

Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , при . ( , )

Решение: Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка:

Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения y* и общего уравнения y соответствующего однородного уравнения:

Чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения (то есть такого, в котором правая часть равна нулю) необходимо найти корни характеристического уравнения и по ним определить вид решения.

Характеристическое уравнение в нашем случае есть:

имеет действительные и различные корни:

, .

Общий интеграл есть:

Правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:

, где - многочлен 0-й степени, =2 (не является корнем характеристического многочлена).

поэтому частное решение следует искать в виде:

где

- постоянный коэффициент, подлежащий определению. Подставляя y* в заданное уравнение, будем иметь:

Имеем решение . Итак, частное решение нашли в виде:

Таким образом, общий интеграл данного уравнения имеет вид:

Для определения коэффициентов С1 и С2 используем начальные условия:

При х=0 функция равна 2

При х=0 первая производная функции равна -1:

Составим систему из этих двух уравнений и решим её относительно неизвестных С1 и С2

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения запишется в виде: