Решение дифференциальных уравнений (стр. 2 из 2)

г)Уравнение Клеро

Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при

Уравнение принимает вид

и называется урaвнeниeм Клеро. Положив

, получаем:

.

Дифференцируя по х, имеем:

или .

Если

, то . Поэтому, с учетом , ДУ имеет общее решение .

Если

, получаем частное решение уравнения в параметрической форме:

.

Это решение - особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

8)Особое решение

9)Линейное уравнение n-го порядка. Запись с помощью L. Свойства

, .

.

Если коэф.

непрер.,то т.осущ.и един.доказана.

Линейный диф.оператор(ЛДО):

, то

Св-ва:

1)

; 2) ; 3) .

10)Линейная независимость функции. Определитель Вронского. Теорема линейной зависимости.

Функции

называются линейно независимыми на интервале если равенство , где , выполняется тогда и только тогда,

когда

Средством изучения линейной зависимости сестемы ф-ий явл.так называемый определитель Вронсоко или вронскиан. Для двух диф.ф-ий

вронскиан имеет вид:

.

Теорема лин. зависимости: Если диф.ф-ии

лин.зависимы на , то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Так как функции

линейно зависимы, то в равенстве значение отлично от нуля. Пусть , тогда поэтому для любого

.

11)Если линейно независимы ⟹

Доказательство

Если функции

- линейно независимые решения уравнения на то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Из теоремы следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (a; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

12 Фундаментальная система решений. Теорема существования фундаментальной системы решений. Доказательство

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений

ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация

Теорема (о ФСР)

Если два частных решения

ЛОДУ образуют на интервале (а;b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция

, где и - произвольные постоянные.

13) Построение общего решения ЛОДУ

13.Построение общего решения ЛНДУ.

14.ЛДУ n- го порядка с постоянным коэффициентом. Общее решение. ЛОДУ, характеристические мн-н. Корни простые.

15.ЛОДУ, характеристические мн-н. Корни кратные.

16.ЛНДУ. Метод подбора частного решения.

18. Системы ДУ. Метод сведения к ДУ n-го порядка.

19.Системы ДУ. Метод интегрируемых комбинаций.

20. Система ЛДУ. Матричная запись. Свойства

21 Зависимые и независимые решения. Определитель Вронского.

22.Система ЛОДУ. Свойства

23.Фундаментальная система решений. Построение общего решения.

24.ЛН системы. Метод вариаций.

25.Л О системы с постоянным коэффициентом. Метод Эйлера.

уравнение линейный решение бернулли