Дослідження розвитку теорії ймовірності (стр. 11 из 12)
.Що й було потрібно довести.
Лема 2.
Нехай
– незалежні, обмежені, 
, 
, випадкові величини з нульовими середніми. Тоді для всякого 
й цілого 
, де 
.Доказ.
Нехай
, 
, 
, 
, 
. Зауважуючи, що на множині 
, одержуємо 
З нерівності
треба, що 
.Тому
при кожному 
. Значить 
і 
.Що й було потрібно довести.
Лема 3.
Нехай
– незалежні, обмежені випадкові величини, причому 
, 
. Тоді 
.Доказ.
Позначимо
, . Якщо 
або 
, то права частина в доказуваній нерівності негативна й нерівність очевидно.Нехай тепер одночасно
, 
. Тоді досить показати, що 
, оскільки, мабуть, 
.Позначимо
. Якщо 
, то 
і, виходить, 
Припустимо, тепер, що
.Позначаючи
й застосовуючи лему 2, знаходимо 
Звідси
На множині
.Тому
.Ясно також, що
.Отже,
і, виходить,
.Що й було потрібно довести.
Доказ теореми. Необхідність.
Нехай послідовність
, 
така, що для будь-якого 
, 
. Покажемо, що тоді 
, .Позначимо для даного
, 
, 
.Оскільки
– медіана 
, те 
.Для досить більших
, тому 
, тобто 
.Далі, якщо подія
виконується, а 
ні, те виконується подія 
й, виходить, 
.Але
.Отже,
.Застосуємо лему 1, взявши
. Тоді 
.Події
незалежні, тому 
.Оскільки за умовою
, , те з і одержуємо шукане співвідношення .Покладемо тепер
Із
треба, що якщо 
, , те й 
, 
.Позначимо
. Тоді 
й по лемі 3 
звідки
.Для
.Тоді з
, і треба, що 
,а значить у силу довільності
.Що й було потрібно довести.
3. Подальше узагальнення теореми Чебишева виходить, якщо припустити, що
яким-небудь образом залежать від рішень яких-небудь випробувань 
, так що після кожного певного результату всіх цих випробувань приймає певне значення. Загальна ідея віх теорем, відомих за назвою закону більших чисел, полягає в тому, що якщо залежність величини від кожного окремого випробування 
, 
, дуже мала при більших , то величини стійкі. Якщо розглядати 
як розумну міру залежності величини від випробування 
, то вищезгадана загальна ідея закону більших чисел може бути конкретизована наступними міркуваннями.