Дослідження розвитку теорії ймовірності (стр. 5 из 12)

-число членів між nr+n і nr+ns;

-число членів між nr і 0;

-число членів після nr+n;

-число членів до nr-n.

;

Очевидно, що зі збільшенням n (тобто при

)

будуть необмежено зростати.

Знайдемо число членів після nr+n (

), мабуть, що

Очевидно, що

, тобто число членів після nr+n не перевищує більш ніж в s-1 раз число членів ув'язнених між nr і nr+n або між nr і nr-n, для будь-якого n.

Знайдемо число членів до nr-n (

), мабуть, що

, а значить

, тобто число членів до nr-n не перевищує більш ніж в r-1 раз число членів ув'язнених між nr і nr+n або між nr і nr-n, для будь-якого n.

Що й було потрібно довести.

Лема 2.

Усякий цілий ступінь якого-небудь двочлена r + s виражається числом членів, на одиницю більшим числа одиниць у показникуступеня.

Доказ.

Розглянемо

, де x

(x – ціле число)

Складемо ряд зі ступенів одночлена s (або r)

0,1,2,..., x-2, x-1, x. Число членів у цьому ряді дорівнює x+1.

Т. о. усякий цілий ступінь двочлена r + s виражається числом членів, на одиницю більшим числа одиниць у показникуступеня. Що й було потрібно довести.

Лема 3.

У будь-якому ступені двочлена r + s, принаймні в t=r+s або nt=nr+ns, деякий член M буде найбільшим, якщо числа попередніх йому й наступних за ним членів перебувають у відношенні s до r або, що те ж, якщо в цьому члені показники букв r і s перебувають відносно самих кількостей r і s; більше близький до нього член з тієї й іншої сторони більше вилученого з тієї ж сторони; але той же член M має до більше близького менше відношення, чим більше близький до більше вилученого при рівному числі проміжних членів.

Доказ.

Відзначається, що коефіцієнти членів рівно віддалених від кінців рівні. Число всіх членів nt+1=nr+ns+1. Найбільший член буде:

M можна записати в іншому виді, скориставшись наступною формулою

Найближчий до нього ліворуч член дорівнює

;

праворуч –

Наступний ліворуч –

;

праворуч –

і т.д.

;

, і т.д.

Очевидно, що:

, M-Найбільший член.

Що й було потрібно довести.

Лема 4.

У ступені двочлена з показником nt число n може бути взяте настільки більшим, щоб відношення найбільшого члена M до двох іншим L і

, що відстоїть від нього ліворуч і праворуч на n членів, перевершило всяке дане відношення.

Доказ.

;

Для доказу леми необхідно встановити, що

и.

= =

Але ці відносини будуть нескінченно більшими, коли n покладається нескінченним, тому що тоді зникають числа 1, 2, 3 та ін. у порівнянні з n, і самі числа

та ін.

та ін. будуть мати ті ж значення, як

. Після цього відкинувши ці числа й провівши відповідні скорочення на n, одержимо, що

;