Дослідження розвитку теорії ймовірності (стр. 6 из 12)

Кількість співмножників у чисельнику й знаменнику дорівнює n. Внаслідок чого ці відносини будуть нескінченними ступенями виражень:

і й тому нескінченно більшими.

Таким чином, ми з'ясували, що в нескінченно високому ступені двочлена відношення найбільшого члена до іншим L і

перевершує всяке задане відношення.

и.

Що й було потрібно довести.

Лема 5.

Відношення суми всіх членів від L до

до всім іншим зі збільшенням n може бути зроблене більше всякого заданого числа.

Доказ.

M – найбільший член розкладання.

Нехай сусідні з ним ліворуч будуть F, G, H,…;

нехай сусідні з L ліворуч будуть P, Q, R,…...

На підставі леми 3 маємо:

<

; < ; < , …або < < < <…...

Тому що по лемі 4, при n нескінченно великому, відношення

нескінченно, те тим більше будуть нескінченними відносини , , ,…,і тому відношення також нескінченно, тобто сума членів між найбільшим M і межею L нескінченно більше суми такого ж числа членів за межею L і найбільше до нього близьких. І тому що число всіх членів за межею L перевищує, по лемі 1, не більш ніж в s-1 раз (тобто кінцеве число раз) число членів між цією межею й найбільшим членом M, а самі члени робляться тим менше, ніж далі вони відстоять від межі, по першій частині леми 3, то сума всіх членів між M і L (навіть не вважаючи M) буде нескінченно більше сум всіх членів за межею L. Аналогічне твердження можна довести щодо членів між M і . Обоє ці твердження й доводять лему.

Що й було потрібно довести.

Головна пропозиція.

Нехай число добрих нагод ставиться до числа несприятливих точно або приблизно, як r до s, або до числа всіх випадків, як r до r+s або r до t, це відношення полягає в межах

і . Потрібно довести, що можна взяти стільки досвідів, щоб у яке завгодно дане число раз (c раз) було ймовірніше, що число сприятливих спостережень потрапить у ці межі, а не поза ними, тобто відношення числа сприятливих спостережень до числа всіх буде не більш ніж і не менш .

Доказ.

Нехай число необхідних спостережень буде nt. Імовірність того що всі спостереження будуть сприятливі, дорівнює

,

що все крім одного

,

крім двох

і т.д.

А це є члени розкладання (r+s) у ступені nt (ділені на

), які досліджувалися в минулих лемах. Всі подальші висновки ґрунтуються на доведених лемах. Число випадків з ns несприятливими спостереженнями й nr сприятливими дає член M. Число випадків, при яких буде nr+n або nr-n сприятливих спостережень, виражається членами L і , що відстоять на n членів від M. Отже, число випадків, для яких сприятливих спостережень виявиться не більше nr+n і не менш nr-n, буде виражатися сумою членів, укладених між L і . Загальне ж число випадків, для яких сприятливих спостережень буде або більше nr+n або менше nr-n, виражається сумою членів, що стоять лівіше L і правіше .

Тому що ступінь двочлена може бути взята настільки більша, щоб сума членів, укладених між обома межами L і

перевершувала більш ніж в c раз суму всіх інших із цих меж вихідних, по лемах 4-й і 5-й, те, отже, можна взяти настільки велика кількість спостережень, щоб число випадків, при яких відношення числа сприятливих спостережень до числа всіх виявляється ув'язненим у межі й або й , перевищувало більш ніж в c раз число інших випадків, тобто зробилося більш ніж в c раз імовірніше, що відношення числа сприятливих спостережень до числа всіх полягає в межах і , а не поза цими межами.

Що й було потрібно довести.

Для порівняння дамо сучасне формулювання теореми Бернуллі.

Теорема Бернуллі.

Якщо ймовірність настання події A у послідовності незалежних випробувань постійна й дорівнює p, те, яке б не було позитивне число

, з імовірністю як завгодно близької до одиниці, можна затверджувати, що при досить великій кількості випробувань n різниця по абсолютній величині виявиться меншої, чим :

,

де -

будь-яке мале число.

Ця теорема буде доведена нами пізніше (після введення нерівності Чебишева).

Завжди може трапитися, що, яким би більшим не було n, у даній серії з n випробувань

виявиться більше . Але, відповідно до теореми Бернуллі ми можемо затверджувати, що якщо n досить велике і якщо зроблено досить багато серій випробувань по n випробувань у кожній серії, то в гнітючому числі серій нерівність буде виконано.

Бернуллі вважає, що з доведеної теореми «випливає те дивне, очевидно, наслідок, що якби спостереження над всіма подіями продовжувати всю вічність (причому ймовірність, нарешті, перейшла б у повну вірогідність), те було б замічене, що все у світі управляється точними відносинами й постійним законом зміни, так, що навіть у речах, найвищою мірою випадкових, ми примушені були б визнати як би деяку необхідність і, скажу я, доля».

А.А. Марков писав, що в цій роботі Бернуллі «уперше була опублікована й доведена знаменита …теорема, що поклала початок закону більших чисел…»... Пуассон (1781–1840 р.) у своїй роботі «Дослідження про ймовірність судових вироків по карних і цивільних справах» займався граничними пропозиціями. У результаті він довів свою знамениту теорему, який дали назву «закон більших чисел» [1]. Теорема Пуассона формулювалася в такий спосіб.

Теорема.

Якщо виробляється n незалежних випробувань, результатами яких є настання або не настання події A, причому ймовірність настання події в окремих випробуваннях неоднакова, то з імовірністю, як завгодно близької до одиниці (або, інакше кажучи, – до вірогідності), можна затверджувати, що частота

настання події A буде як завгодно мало відрізнятися від середньої арифметичної ймовірностей настання події в окремих випробуваннях.