Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми (стр. 1 из 2)

Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми

1. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції

Кореляційним моментом (коваріацією) випадкових величин

і називається математичне сподівання добутку відповідних ним центрованих величин:

. (1)

Властивості коваріації:

1.

2.

3.

Перші дві з них очевидні, остання доводиться також легко:

Коефіцієнтом кореляції називається кореляційний момент нормованої випадкової величини:

Теорема. Для будь-яких випадкових величин

, коефіцієнт кореляції причому знак рівності можливий тоді і тільки тоді, коли і з імовірністю 1 пов'язані лінійно.

Доведення. Обчислимо дисперсію лінійної комбінації випадкових величин

і з довільним коефіцієнтом та врахуємо, що з властивостей дисперсії вона є невід'ємною.

При цьому отримаємо невід’ємну квадратичну форму відносно змінної

з невід’ємним коефіцієнтом при .

Це можливо лише за умови, що її дискримінант

. З урахуванням визначення (1) цю нерівність можна переписати у вигляді:

або

або мовою середніх квадратичних відхилень випадкових величин

.

Тобто

Доведемо тепер другу частину теореми:

тоді і тільки тоді, коли і з імовірністю 1 пов'язані лінійно.

Необхідність:

Достатність:

, , ,

, .

Випадкові величини x,h називаються некорельованими, якщо їх коваріація дорівнює нулю. Якщо випадкові величини x, h незалежні, то вони некорельовані.

.

Зворотне твердження, взагалі кажучи, не має місця.

Наприклад,

.

.

Для опису зв'язків, що існують між проекціями випадкового вектора (x,h), крім коваріації

можна використовувати числові характеристики умовних законів розподілу , .

Умовним середнім значенням

і умовною дисперсією випадкової величини x за умови h =y називаються величини:

,

.

Аналогічно визначаються характеристики

і .

Для опису випадкового вектора також вводять початкові і центральні моменти:

, .

2. Комплексна випадкова величина, характеристичні функції

Комплексна випадкова величина, що вводиться за формулою

, є іншим способом опису випадкового вектора ( , ).

Випадкові величини

і називаються незалежними, якщо незалежними є випадкові вектори ( , ) і ( , ).

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Характеристичною функцією випадкової величини

називається середнє значення виразу .

.

Функцію

називають також характеристичною функцією відповідного закону розподілу:

(2)

Як видно з (2), характеристична функція

є перетворенням Фур'є відповідної їй щільності імовірності:

Властивість 1. При додаванні незалежних випадкових величин їхні характеристичні функції перемножуються.

Властивість 2. Розкладання характеристичної функції в ряд за ступенями

дозволяє знайти всі моменти , , ,…випадкової величини .

3. Види збіжності випадкових величин

Послідовність випадкових величин x₁, x₂…називається такою, що збігається з випадковою величиною x в розумінні середнього квадратичного, якщо границя математичного сподівання квадрата абсолютного значення відхилення

від прямує до нуля за умови, що , тобто