1. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції
Кореляційним моментом (коваріацією) випадкових величин
і називається математичне сподівання добутку відповідних ним центрованих величин: . (1)Властивості коваріації:
1. |
2. |
3. |
Перші дві з них очевидні, остання доводиться також легко:
Коефіцієнтом кореляції називається кореляційний момент нормованої випадкової величини:
Теорема. Для будь-яких випадкових величин
, коефіцієнт кореляції причому знак рівності можливий тоді і тільки тоді, коли і з імовірністю 1 пов'язані лінійно.Доведення. Обчислимо дисперсію лінійної комбінації випадкових величин
і з довільним коефіцієнтом та врахуємо, що з властивостей дисперсії вона є невід'ємною.При цьому отримаємо невід’ємну квадратичну форму відносно змінної
з невід’ємним коефіцієнтом при .Це можливо лише за умови, що її дискримінант
. З урахуванням визначення (1) цю нерівність можна переписати у вигляді:або
або мовою середніх квадратичних відхилень випадкових величин
.Тобто
Доведемо тепер другу частину теореми:
тоді і тільки тоді, коли і з імовірністю 1 пов'язані лінійно.Необхідність:
Достатність:
, , , , .Випадкові величини x,h називаються некорельованими, якщо їх коваріація дорівнює нулю. Якщо випадкові величини x, h незалежні, то вони некорельовані.
.Зворотне твердження, взагалі кажучи, не має місця.
Наприклад,
. .Для опису зв'язків, що існують між проекціями випадкового вектора (x,h), крім коваріації
можна використовувати числові характеристики умовних законів розподілу , .Умовним середнім значенням
і умовною дисперсією випадкової величини x за умови h =y називаються величини: , .Аналогічно визначаються характеристики
і .Для опису випадкового вектора також вводять початкові і центральні моменти:
, .2. Комплексна випадкова величина, характеристичні функції
Комплексна випадкова величина, що вводиться за формулою
, є іншим способом опису випадкового вектора ( , ).Випадкові величини
і називаються незалежними, якщо незалежними є випадкові вектори ( , ) і ( , ). , , , , , , , , .Характеристичною функцією випадкової величини
називається середнє значення виразу . .Функцію
називають також характеристичною функцією відповідного закону розподілу: (2)Як видно з (2), характеристична функція
є перетворенням Фур'є відповідної їй щільності імовірності:Властивість 1. При додаванні незалежних випадкових величин їхні характеристичні функції перемножуються.
Властивість 2. Розкладання характеристичної функції в ряд за ступенями
дозволяє знайти всі моменти , , ,…випадкової величини .3. Види збіжності випадкових величин
Послідовність випадкових величин x1, x2…називається такою, що збігається з випадковою величиною x в розумінні середнього квадратичного, якщо границя математичного сподівання квадрата абсолютного значення відхилення
від прямує до нуля за умови, що , тобто