Вычислим их векторное произведение:

Откуда

. Следовательно,

(кв. ед.).

Задача 10

Даны вершины треугольной пирамиды

. Найти ее объем.

Решение

Имеем

. Найдем векторное произведение

Этот вектор скалярно умножим на вектор

Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:

Следовательно, объем:

(куб. ед.).

Задача 11

Составить уравнение прямой, проходящей через точки

Решение

За первую вершину примем

(на результат это не влияет); следовательно,

Имеем

Ответ:

- общее уравнение искомой прямой.

Задача 12

Составить уравнение прямой, проходящей через точку

, параллельно и перпендикулярно прямой

Решение

Найдем угловой коэффициент данной прямой:

. Согласно условиям параллельности и перпендикулярности двух прямых, угловой коэффициент параллельной прямой будет равен

, а перпендикулярной прямой будет равен –4 /3. Составляем уравнения искомых прямых:

1) параллельной:

- общее уравнение прямой, параллельной данной;

2) перпендикулярной:

- общее уравнение прямой, перпендикулярной к данной.

Задача 13

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Решение

Выберем на одной из данных прямых точку

. Пусть

. Для определения координат точки

на прямой

одну координату выберем произвольно, а вторую определим из уравнения. Возьмём

; тогда

. По формуле расстояния от точки до прямой находим:

;

Задача 14

Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Решение

Проверим выполнение условий теоремы Лейбница

а)

б)

(при вычислении предела применялось правило Лопиталя). Условия выполняются, следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.

Имеем:

Тогда по признаку Даламбера:

, и ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, будет сходится. Следовательно, ряд

сходится абсолютно.

а)

б)

следовательно ряд

- сходится.

2) Пусть

. Тогда

. Применим признак сравнения, сравнивая его с расходящимся гармоническим рядом

. Имеем

Таким образом, ряд

- расходится.

Ответ

Область сходимости ряда

есть интервал

Задача 15

Вычислить предел

Решение

Для вычисления этого предела непосредственно применить указанные теоремы нельзя, так как пределы функций, находящихся в числителе и знаменателе, не существуют. Здесь имеется неопределенность вида

, для раскрытия которой в данном случае следует числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной

, т.е. на

так как

при

Задача 16

Вычислить придел

Решение

Так как предел знаменателя равен нулю, то теорема 3 неприменима. Здесь имеется неопределенность вида

. Для раскрытия этой неопределенности в числителе и знаменателе следует выделить бесконечно малый множитель, на который затем сократить дробь. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители

, где

- его корни.

Тогда

Задача 17

Вычислить предел

Решение задач по высшей математике (стр. 2 из 6)

Имеем

Тогда