Решение
Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:
.Задача 18
Вычислить предел
.Решение
Легко убедиться, что
и при .Поэтому
.Задача 19
Вычислить предел
Решение
Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим
.Задача 20
Найти предел
.Решение
.Задача 21
Продифференцировать функцию
.Решение
.
Задача 22
Вычислить при помощи дифференциала
.Решение
Пусть
. Тогда . Обозначим: ; . Отсюда . Находим и . .Итак,
.Задача 23
Найти
.Решение
Подстановка в заданную функцию значения
приводит к неопределенности вида . Применив правило Лопиталя, получим: .Задача 24
Исследовать на экстремум функцию
.Решение
1. Находим область определения функции:
.2. Находим производную функции:
.3. Находим критические точки, решая уравнение
или . Критические точки , .4. Область определения функции разбиваем критическими точками
и на интервалы, в каждом из которых определяем знак , делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов.+ | 0 | — | 0 | + | |
Возрастает | Max | убывает | Min | Возрастает |
При переходе через критическую точку
производная меняет знак с “+” на “-”. Значит, в этой точке функция имеет максимум: .Аналогично устанавливаем, что
.Задача 25
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .Решение
1. Находим критические точки заданной функции:
; ; .2. Убеждаемся в том, что точка
принадлежит отрезку .3. Вычисляем:
; ; .4. Сравниваем числа
; ; и находим: ; .Задача 26
Найти общее решение уравнения
.Решение
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде
, тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получим или . (1)Задача 27
Исследовать функцию
.Решение
1. Функция определена и непрерывна на интервале
. Поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот у графика функции нет.2. Функция нечетная, поскольку
. Это значит, что график функции симметричен относительно начало координат.3. Положив
, получим , т.е. кривая проходит через начало координат.4. Функция не периодична.
5. Находим первую производную
. Производная для всех . Это значит, что функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому экстремумов она не имеет.6. Находим вторую производную
и приравниваем её к нулю: . Точка будет критической точкой. Точкой разбиваем область определения функции на интервалы и , являющиеся интервалами знакопостоянства второй производной.