Смекни!
smekni.com

Решение задач по высшей математике (стр. 3 из 6)

Решение

Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:

.

Задача 18

Вычислить предел

.

Решение

Легко убедиться, что

и
при
.

Поэтому

.

Задача 19

Вычислить предел

Решение

Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим

.

Задача 20

Найти предел

.

Решение

.

Задача 21

Продифференцировать функцию

.

Решение

.

Задача 22

Вычислить при помощи дифференциала

.

Решение

Пусть

. Тогда
. Обозначим:
;
. Отсюда
. Находим
и
.

.

Итак,

.

Задача 23

Найти

.

Решение

Подстановка в заданную функцию значения

приводит к неопределенности вида
. Применив правило Лопиталя, получим:

.

Задача 24

Исследовать на экстремум функцию

.

Решение

1. Находим область определения функции:

.

2. Находим производную функции:

.

3. Находим критические точки, решая уравнение

или
. Критические точки
,
.

4. Область определения функции разбиваем критическими точками

и
на интервалы, в каждом из которых определяем знак
, делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов.
+ 0 0 +
Возрастает Max убывает Min Возрастает

При переходе через критическую точку

производная
меняет знак с “+” на “-”. Значит, в этой точке функция имеет максимум:

.

Аналогично устанавливаем, что

.

Задача 25

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке
.

Решение

1. Находим критические точки заданной функции:

;
;
.

2. Убеждаемся в том, что точка

принадлежит отрезку
.

3. Вычисляем:

;
;
.

4. Сравниваем числа

;
;
и находим:

;
.

Задача 26

Найти общее решение уравнения

.

Решение

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде

, тогда
. Подставляя
и
в исходное уравнение, получим

или
. (1)

Задача 27

Исследовать функцию

.

Решение

1. Функция определена и непрерывна на интервале

. Поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот у графика функции нет.

2. Функция нечетная, поскольку

. Это значит, что график функции симметричен относительно начало координат.

3. Положив

, получим
, т.е. кривая проходит через начало координат.

4. Функция не периодична.

5. Находим первую производную

. Производная
для всех
. Это значит, что функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому экстремумов она не имеет.

6. Находим вторую производную

и приравниваем её к нулю:
. Точка
будет критической точкой. Точкой
разбиваем область определения функции на интервалы
и
, являющиеся интервалами знакопостоянства второй производной.