Смекни!
smekni.com

Решение задач по высшей математике (стр. 4 из 6)

+
выпуклая
вогнутая

Поскольку при переходе через точку

производная
меняет знак, то точка
будет точкой перегиба искомой кривой.

7. Выясним наличие наклонных асимптот:

;

;

;
.

Следовательно, наклонными асимптотами будут прямые:

и
.

Задача 28

Найти частные производные функции

.

Решение

;
;
.

Задача 29

Найти производную функции

в точке
в направлении вектора
.

Решение

;
;
;
;
;
;
.

Задача 30

Даны функция

и точки
и
. Вычислить:

1) точное значение

функции в точке
;

2) приближенное значение

функции в точке
, исходя из её значения в точке
, заменив приращение
при переходе от точки
к точке
дифференциалом
;

3) относительную погрешность, возникающую при замене

на
.

Решение

По условию

,
,
,
. Поэтому
,
. Находим точное значение функции в точке
:

.

Находим приближенное значение

:

;

;
.

Вычисляем относительную погрешность:

.

Задача 31

Найти экстремумы функции

.

Решение

Находим критические точки:

;
;

откуда

и
- точки, где частные производные равны нулю. Исследуем эти точки с помощью достаточных условий

;

;

;

;

. Поэтому экстремума в точке
функция не имеет.

,
. Поэтому функция в точке
имеет минимум:
.

Задача 32

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Возводим в квадрат числитель и почленно делим на знаменатель. Затем, применяя свойства, получаем первый интеграл таблицы:

.

Задача 33

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Принимая в подынтегральном выражении

,
, получим
,
. Поэтому

.

Проверка.

.

Задача 34

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Сделав замену переменной

Получим

.

Задача 35

Вычислить

.

Решение

Полагаем

,
; тогда
,
.