— | + | ||
выпуклая | вогнутая |
Поскольку при переходе через точку
производная меняет знак, то точка будет точкой перегиба искомой кривой.7. Выясним наличие наклонных асимптот:
; ; ; .Следовательно, наклонными асимптотами будут прямые:
и .Задача 28
Найти частные производные функции
.Решение
; ; .Задача 29
Найти производную функции
в точке в направлении вектора .Решение
; ; ; ; ; ; .Задача 30
Даны функция
и точки и . Вычислить:1) точное значение
функции в точке ;2) приближенное значение
функции в точке , исходя из её значения в точке , заменив приращение при переходе от точки к точке дифференциалом ;3) относительную погрешность, возникающую при замене
на .Решение
По условию
, , , . Поэтому , . Находим точное значение функции в точке : .Находим приближенное значение
: ; ; .Вычисляем относительную погрешность:
.Задача 31
Найти экстремумы функции
.Решение
Находим критические точки:
; ;откуда
и - точки, где частные производные равны нулю. Исследуем эти точки с помощью достаточных условий ; ; ; ; . Поэтому экстремума в точке функция не имеет. , . Поэтому функция в точке имеет минимум: .Задача 32
Вычислить неопределенный интеграл
.Решение
Возводим в квадрат числитель и почленно делим на знаменатель. Затем, применяя свойства, получаем первый интеграл таблицы:
.Задача 33
Вычислить неопределенный интеграл
.Решение
Принимая в подынтегральном выражении
, , получим , . Поэтому .Проверка.
.Задача 34
Вычислить неопределенный интеграл
.Решение
Сделав замену переменной
Получим
.Задача 35
Вычислить
.Решение
Полагаем
, ; тогда , .