Задача 36
Вычислить
.Решение
Положим
. Подстановка значений и в уравнение дает и . Таким образом, .Задача 37
Найти
.Решение
По определению
.Задача 40
Найти общее решение уравнения
.Решение
Так как
,то данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Заменив в исходном уравнении
, получим уравнение или .Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив их, получим
, .Проинтегрировав последнее уравнение, найдем
или .Подставив
, общее решение исходного уравнения запишем в виде , а после преобразования .Задача 38
Найти область сходимости степенного ряда
.Решение
Составим ряд из абсолютных величин
,По признаку Даламбера имеем:
,следовательно
, , , и на интервале ряд сходится.Проверим его сходимость на концах интервала:
1) Пусть
. Тогда - знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница:Задача 14
Вычислить
с точностью до .Решение
Разложив в ряд
и поделив почленно на , получим: .Выбираем функцию
такой, чтобы .Тогда
.Интегрируем и находим
или .Подставив найденную функцию в (1), получим ещё одно уравнение
, , ; .Следовательно,
- общее решение заданного уравнения.Задача 42
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.Решение
Составим характеристическое уравнение
. Так как и , то общим решением будет .Частное решение неоднородного уравнения
подбирается в зависимости от вида функции .1. Пусть
, , представляет собой многочлен степени с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде: ,где
- многочлен той же степени, что и многочлен , но с неизвестными коэффициентами, а - число корней характеристического уравнения, равных нулю.Задача 43
Найти общее решение уравнения
.Решение
Ищем общее решение в виде
, где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения. Так как - многочлен первой степени и один корень характеристического уравнения , то частное решение надо искать в виде .Подберем коэффициенты
и так, чтобы решение удовлетворяло данному уравнениюПриравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества, получим
Следовательно,
, а - искомое общее решение.2. Пусть
. Тогда частное решение неоднородного уравнения , где - число корней характеристического уравнения, равных .Задача 44
Найти общее решение уравнения
.Решение
Ищем решение в виде
. Решим однородное уравнение . Корни характеристического уравнения равны и . Следовательно, . Частное решение ищем в виде (так как , ). Найдем , а . Подставляя , и в исходное уравнение, получим