Смекни!
smekni.com

Решение задач по высшей математике (стр. 5 из 6)

Интегрируя по частям, находим

.

Задача 36

Вычислить

.

Решение

Положим

. Подстановка значений
и
в уравнение
дает
и
. Таким образом,

.

Задача 37

Найти

.

Решение

По определению

.

Задача 40

Найти общее решение уравнения

.

Решение

Так как

,

то данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Заменив в исходном уравнении

, получим уравнение
или
.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив их, получим

,

.

Проинтегрировав последнее уравнение, найдем

или
.

Подставив

, общее решение исходного уравнения запишем в виде
, а после преобразования
.

Задача 38

Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение

Составим ряд из абсолютных величин

,

По признаку Даламбера имеем:

,

следовательно

,
,
, и на интервале
ряд сходится.

Проверим его сходимость на концах интервала:

1) Пусть

. Тогда
- знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница:

Задача 14

Вычислить

с точностью до
.

Решение

Разложив в ряд

и поделив почленно на
, получим:

.

Выбираем функцию

такой, чтобы
.

Тогда

.

Интегрируем и находим

или
.

Подставив найденную функцию в (1), получим ещё одно уравнение

,
,
;
.

Следовательно,

- общее решение заданного уравнения.

Задача 42

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение

Составим характеристическое уравнение

. Так как
и
, то общим решением будет

.

Частное решение неоднородного уравнения

подбирается в зависимости от вида функции
.

1. Пусть

,
, представляет собой многочлен степени
с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде:

,

где

- многочлен той же степени, что и многочлен
, но с неизвестными коэффициентами, а
- число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Задача 43

Найти общее решение уравнения

.

Решение

Ищем общее решение в виде

, где
- общее решение соответствующего однородного уравнения,
- частное решение неоднородного уравнения. Так как
- многочлен первой степени
и один корень характеристического уравнения
, то частное решение надо искать в виде

.

Подберем коэффициенты

и
так, чтобы решение
удовлетворяло данному уравнению

,

,

.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества, получим

Следовательно,

, а
- искомое общее решение.

2. Пусть

. Тогда частное решение неоднородного уравнения
, где
- число корней характеристического уравнения, равных
.

Задача 44

Найти общее решение уравнения

.

Решение

Ищем решение в виде

. Решим однородное уравнение
. Корни характеристического уравнения
равны
и
. Следовательно,
. Частное решение ищем в виде
(так как
,
). Найдем
, а
. Подставляя
,
и
в исходное уравнение, получим