КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Решение задач по высшей математике
Задача 1
Вычислить определители:
; .Решение
,Задача 2
Вычислить определитель:
.Решение
Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца
.Задача 3
Найти матрицу, обратную к матрице
.Решение
Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения
: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .Ответ: Обратная матрица имеет вид:
.Задача 4
С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.Решение
Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на
, а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим .Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем
.Ответ: Ранг матрицы равен двум.
Задача 5
Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:
;Решение
Вычислим главный определитель системы
и вспомогательные определители , , . . ; ; .По формуле Крамера, получим
; ; .Задача 6
Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.
Решение
Матрица
и имеют видИх ранги равны
. Система совместна. Выделим следующую подсистемуСчитая
и известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид ; ,где
, - могут принимать произвольные значения. Пусть , где Тогда ответом будет служить множествоЗадача 7
Даны начало
и конец вектора . Найти вектор и его длину.Решение
Имеем
, откуда или .Далее
, т.е. .Задача 8
Даны вершины треугольника
, и . Найти с точность до угол при вершине .Решение
Задача сводится к нахождению угла между векторами
и : , ; . Тогда , .Задача 9
Даны вершины треугольника
, и . Вычислить площадь этого треугольника.Решение
Так как площадь треугольника
равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. , то . Найдем векторы и : ; ; .