Смекни!
smekni.com

Решение задач по высшей математике (стр. 1 из 6)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Решение задач по высшей математике

Задача 1

Вычислить определители:

;

.

Решение

,

Задача 2

Вычислить определитель:

.

Решение

Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца

.

Задача 3

Найти матрицу, обратную к матрице

.

Решение

Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения

:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Ответ: Обратная матрица имеет вид:

.

Задача 4

С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

.

Решение

Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на

, а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим

.

Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем

.

Ответ: Ранг матрицы равен двум.

Задача 5

Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:

;

Решение

Вычислим главный определитель системы

и вспомогательные определители
,
,
.

.

;

;

.

По формуле Крамера, получим

;

;
.

Задача 6

Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.

Решение

Матрица

и
имеют вид


,

.

Их ранги равны

. Система совместна. Выделим следующую подсистему

Считая

и
известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид

;
,

где

,
- могут принимать произвольные значения. Пусть
, где
Тогда ответом будет служить множество

Задача 7

Даны начало

и конец
вектора
. Найти вектор
и его длину.

Решение

Имеем

, откуда
или
.

Далее

, т.е.
.

Задача 8

Даны вершины треугольника

,
и
. Найти с точность до
угол
при вершине
.

Решение

Задача сводится к нахождению угла между векторами

и
:

,
;
. Тогда
,
.

Задача 9

Даны вершины треугольника

,
и
. Вычислить площадь этого треугольника.

Решение

Так как площадь треугольника

равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
и
как на сторонах, т.е.
, то
. Найдем векторы
и
:

;
;
.