Теорія і практика обчислення визначників (стр. 1 из 3)

ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Основні поняття і теореми

Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами a_ij, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і при цьому через х_j позначені стовпці матриці А, тобто

Визначником(det A)квадратної матриці А зі стовпцями х_j називається функціонал j(х₁, х₂, … , х_n) щодо стовпців цієї матриці, який:

а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):

теорема обчислення визначник сума

j(х₁, …, aх_i1 + bх_i2, … , х_n) = aj(х₁, … , х_i1, … , х_n) + bj(х₁, … , х_i2, … , х_n);

б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х₁, … , х_i, … , х_j, … , х_n) = –j(х₁, … , х_j, … , х_i, … , х_n);

в) підкоряється умові нормування:

Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:

а б

Рис. 1

, (1)

де N(j₁ j₂ … j_n) – кількість безладів у перестановці

Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо j_k > j_m і k < m.

З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо

Визначниктретього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників.Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником –1, тобто

Властивості визначників:

1°. det A = det A^T. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.

2°. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.

3°. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.

4°. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.

5°. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.

6°. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.

7°.

8°. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.

9°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.

Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента a_ij матриці А, і позначається М_ij, а величина А_ij= (–1)^{i + j} М_ij називається алгебраїчним доповненням до елемента a_ij матриці А.

10°.

(Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).

11°.

12°. (Теорема Лапласа).

Тут

– мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i₁, i₂, …, i_k і стовпців j₁, j₂, …, j_k, а

– алгебраїчне доповнення до цього мінора.

13°. (Про зміну елементів визначника).

Якщо

, а

, то

3. Приклади розв’язування задач

Задача 1. Обчислити визначник:

Розв’язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10º):

Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.

II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-муі 2-мурядках вихідного визначника, властивість 12º). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:

III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8°.

а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;

б) 1-й рядок, помножений на (–2), додамо до 4-горядка.

При цьому визначник не зміниться.

Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;

г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.

;

д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:

Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює –3.

Задача 2. Обчислити визначник:

Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто

det А= C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х⁴ входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, – з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:

det А =

(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Задача 3. Обчислити визначник:

Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника

додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13°). Одержуємо:

Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А₁₁ = 5! = 120;

А₂₂ = 3^.4^.5 = 60; А₃₃ = 2^.4^.5 = 40; А₄₄ = 2^.3^.5 = 30 і А₅₅ = 2^.3^.4 = 24.

Решта А_ij= 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4^.274 = 1216.

Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку

Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:

а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:

D_n = 5D_{n – 1} – 4D_{n – 2}. (*)

Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити D_nчерез такі ж визначники більш низького порядку.

З (*) одержуємо:

1) D_n – D_{n – 1}= 4(D_{n – 1} – D_{n – 2}) = 4²(D_{n – 2} – D_{n – 3}) = … = 4^{n – 2} (D₂ – D₁) =

= 4^{n – 2} (21 – 5) = 4ⁿ.

2) D_n – 4D_{n – 1} = D_{n– 1} – 4D_{n – 2}= D_{n– 2} – 4D_{n – 3} = … = D₂ – 4D₁ = 21 – 4^.5 = 1.

Маємо систему рівнянь:

. Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3D_{n – 1} = 4ⁿ – 1. У такий спосіб:

4. Задачі і вправи для самостійного розв’язування

1. Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):