Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними (стр. 2 из 3)

Сумою декількох подій є подія, що відбувається у випадку появи хоча б однієї з цих подій.

Добутком двох подій А і В є подія, що відбувається у разі спільної появи події А та події В.

Добутком декількох подій є подія, що відбувається у разі спільної появи усіх цих подій.

Теорема. Ймовірність появи суми двох несумісних подій дорівнює сумі появ ймовірностей цих подій

.

Наслідок. Ймовірність появи суми декількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

.

Теорема. Сума ймовірностей подій,

, що створюють повну групу, дорівнює одиниці

.

Подія

є протилежною до події А, якщо вона полягає в тому, що подія А не відбулася.

Теорема. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

.

Прийняті такі позначення

, .

Теорема. Ймовірність спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша подія вже відбулася:

,

де

– умовна ймовірність події А за умови, що подія В відбулася, – умовна ймовірність події В за умови, що подія А відбулася.

Наслідок. Ймовірність спільної появи декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної подальшої події обчислюються в припущенні, що всі попередні події вже відбулися:

.

Подія В є незалежною від події А, якщо поява події А не змінює ймовірності появи події В, тобто якщо умовна ймовірність події В дорівнює її безумовній імовірності.

Теорема. Ймовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

.

Наслідок. Ймовірність спільної появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з подій

, незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій :

.

Окремий випадок. Якщо події

мають однакову ймовірність, яка дорівнює р, то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює:

.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх спільної появи:

.

Приклад 1.

Ймовірність влучення у ціль при одному пострілі з першої гармати дорівнює 0,7, другої – 0,8. Знайти ймовірність влучення у ціль при одному залпі з обох гармат.

Розв’язок.

Визначимо події: А – перша гармата влучила при одному пострілі, В – при одному пострілі влучила друга гармата. Події сумісні і незалежні, отже, подію С (влучення у ціль при залпі), можна розглядати як суму двох сумісних подій:

. За теоремою додавання отримаємо:

.

Розглянемо другий спосіб розв’язку.

Ціль буде вражена, якщо відбудеться одна з трьох несумісних подій:

– влучила перша гармата і не влучила друга;

– не влучила перша гармата і влучила друга;

– влучили у ціль обидві гармати.

У цьому випадку, застосувавши теореми про ймовірності суми і добутку подій, отримаємо:

.

Найпростіший розв’язок задачі отримаємо, якщо всі три несумісні події

, , об'єднаємо в одну, сказавши "у ціль буде влучено, якщо влучить хоча б одна гармата" (подія С).

Протилежна подія:

– в ціль не попала жодна з гармат. За теоремою про ймовірність протилежних подій:

Приклад 2.

Студент прийшов на екзамен, знаючи 15 з 20 запитань програми. Знайти ймовірність того, що він знає відповіді на всі три запропоновані йому екзаменатором запитання.

Розв’язок.

Подія А (студент знає відповіді на всі три запитання) добутком трьох залежних подій:

(знає відповідь на перше запитання), (знає відповідь на друге запитання) і (знає відповідь на третє запитання).

Обчислимо ймовірності цих подій:

.

За умови, що студент знає відповідь на перше запитання, ймовірність того, що знає відповідь надруге запитання:

,

оскільки запитання не повторюються і, якщо студент знає відповідь наперше запитання, то з 19 запитань, що залишилися, він знає відповіді лишена1

Припускаючи, що студент знає відповіді і на перше, і на друге запитання, обчислимо умовну ймовірність події, яка полягає в тому, що він знає відповідь натретє запитання:

За теоремою множення маємо:

.

Приклад 3.

З п'яти букв розрізної азбуки складене слово "КНИГА". Дитина, що не уміла читати, розсипала ці букви і потім зібрала їх в довільному порядку. Знайти ймовірність того, що у неї знову вийшло слово "КНИГА".

Розв’язок.

У попередньому розділі ця задача була вже розв’язана. Наведемо другий можливий варіант розв’язку. Щоб в порядку появи букв вийшло слово "КНИГА" першою повинна з'явитися буква К. Ймовірність цієї події

(із заданих п'яти букв тільки одна буква К). Припускаючи, що ця подія сталася, знайдемо ймовірність того, що другою з'явиться буква Н: . Припускаючи, що відбулися обидві події, тобто з'явилися букви К і Н обчислимо ймовірність появи наступної букви . Аналогічно , .

За теоремою множення ймовірностей залежних подій отримаємо шукану ймовірність:

3. Формула повної ймовірності. Формула Байєса

Нехай подія

може статися за умови появи однієї з несумісних подій (гіпотез) , , ... , , що створюють повну групу. Тоді ймовірність події обчислюється за формулою повної ймовірності:

,

де

– ймовірність гіпотези ; – умовна ймовірність події за умови, що подія відбулася.