Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними (стр. 1 из 3)
Контрольна робота з теми:
Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними
1. Основні напрямки теорії ймовірностей. Безпосередній підрахунок ймовірностей
Подією (або випадковою подією) називається будь-який факт, що внаслідок експерименту може відбутися або не відбутися.
Ймовірністю події називається чисельна міра ступеня об'єктивної можливості цієї події. Ймовірність події А позначається
.Достовірною є подія
, яка внаслідок експерименту неодмінно повинна відбутися: 
.Неможливою є подія, яка внаслідок експерименту не може відбутися:
.Ймовірність будь-якої події знаходиться між нулем та одиницею:
.Декілька подій утворюють повну групу, якщо внаслідок експерименту неодмінно повинна відбутися хоча б одна з них, тобто поява хоча б однієї з подій повної групи є достовірна подія.
Декілька подій в даному експерименті називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в одному і тому ж випробуванні.
Декілька подій є рівноймовірними, якщо немає підстав вважати яку-небудь з них більш можливою, ніж будь-яку іншу.
Кожний з можливих результатів випробування є елементарним наслідком. Вони утворюють повну групу, несумісні та рівноймовірні.
Елементарні наслідки є такими, що сприяють події, якщо поява цих виходів спричиняє появу події.
Відповідно до класичного визначення, ймовірність події
обчислюється за формулою: 
,де
– загальне число елементарних наслідків, 
– число наслідків, що сприяють події .При безпосередньому підрахунку ймовірностей використовують основні формули та правила комбінаторики.
Перестановками є комбінації, що складаються з однакових елементів і відрізняються лише порядком розташування цих елементів. Число всіх перестановок дорівнює :
.Розміщеннями є упорядковані комбінації, що складаються з m різних елементів даної n- елементної множини. Число розміщень дорівнює:
.Сполученнями є неупорядковані комбінації, що складаються з m різних елементів даної n- елементної множини. Число сполучень дорівнює:
ймовірність теорія теорема байєс
.Правило суми. Якщо деякий об'єкт А можна вибрати з сукупності об'єктів m способами, а інший об'єкт В може бути вибраний n способами, то вибрати або А, або В можна
способами.Правило множення. Якщо об'єкт А можна вибрати з сукупності об'єктів m способами, і після кожного такого вибору об'єкт В можна вибрати n способами, то пара об'єктів А і В може бути вибрана
способами.Приклад 1.
Кидають одночасно дві гральні кості. Знайти ймовірності таких подій:
1) А – сума очок, що випали, дорівнює 8;
2) В – добуток очок, що випали, дорівнює 8;
3) С – сума очок, що випали, дорівнює 8, а добуток – 15.
Розв'язок.
1) А –сума очок, що випали, дорівнює 8.
Загальне число можливих елементарних наслідків експерименту дорівнює
, оскільки кожна кістка дає 6 наслідків, а кожний з наслідків кидання "першої" кості може поєднуватися з кожним з наслідків кидання "другої" (правило множення). Наслідки, що сприяють нашій події (сума очок дорівнює 8), є такі: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2), тобто 
. Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події, до числа всіх можливих елементарних наслідків: 
.2) В – добуток очок, що випали, дорівнює 8.
Загальне число можливих елементарних наслідків експерименту залишилося незмінним
, а число наслідків, що сприяють події В, дорівнює: 
. Тоді 
.3) С – сума очок, що випали, дорівнює 8, добуток – 15.
Загальне число можливих елементарних наслідків експерименту залишилося
. Сприяють шуканій події тільки ті наслідки, для яких виконуються дві умови: сума очок, що випали, дорівнює 8, а добуток – 15: 
. Тоді 
.Приклад 2.
У ящику 100 деталей, з них 10 бракованих. Навмання витягнули 4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед витягнутих деталей рівно 3 стандартні.
Розв’язок.
Подія А – серед витягнутих деталей рівно 3 стандартні.
Загальне число можливих наслідків випробування 
дорівнює числу способів, якими можна витягнути 4 деталі зі 100. Підрахуємо число наслідків, що сприяють нашій події. Три стандартні деталі з 90 можна витягнути 
способами, а одна бракована деталь, що залишилася, може бути витягнута з 10 бракованих деталей 
способами. Отже, число наслідків, що сприяють нашій події, дорівнює: 
Тоді шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події, до числа всіх елементарних наслідків:
.Приклад 3.
На десяти картках написані цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Три з них виймаються навмання і викладаються на стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що:
1) в порядку появи цифр вийде число 245;
2) з отриманих цифр можна скласти число 245.
Розв’язок.
1) А – в порядку появи цифр вийде число 245.
Число всіх елементарних наслідків експерименту – це число можливих розміщень з 10 елементів по три (отримані комбінації елементів можуть відрізнятися одна від одної або самими елементами, або їх порядком):
.З загального числа наслідків експерименту тільки один є для нашої події таким, що сприяє, тобто
. Шукана ймовірність: 
.2) В – з отриманих цифр можна скласти число 245.
На відміну від попередньої задачі число можливих наслідків експерименту обчислимо як число можливих сполучень з 10 по 3, оскільки порядок появи елементів не відіграє ролі, тобто елементи можна поміняти місцями. Шукана ймовірність:
Приклад
З п'яти букв розрізної азбуки складене слово "КНИГА". Дитина, що не вміє читати, розсипала ці букви і потім склала в довільному порядку. Знайти ймовірність того, що у неї знову вийшло слово "КНИГА".
Розв’язок.
Подія А – вийшло слово "КНИГА".
Дитина може зібрати в довільному порядку ті п'ять букв, які складають слово "КНИГА". Отримані буквосполучення відрізняються одне від іншого не самими елементами, а тільки їх порядком, тому число всіх наслідків експерименту обчислимо як число перестановок з п'яти елементів:
З усіх можливих наслідків експерименту тільки один сприяє появі шуканої події А. Ймовірність дорівнює:
.Приклад 5.
Те ж завдання, але якщо було складене слово "РАКЕТА".
Розв’язок.
В – складене слово "РАКЕТА".
Загальне число наслідків експерименту обчислимо як число перестановок з 6 (в заданому слові 6 букв) елементів, тобто
З усіх можливих наслідків експерименту два сприяють появі знову слова РАКЕТА, оскільки в цьому слові дві однакові букви А і через зміну їх місць слово не зміниться. 
Шукана ймовірність: 
.2 .Теореми додавання та множення ймовірностей
Сумою двох подій А і В є подія С, що відбувається у випадку появи хоча б однієї з подій А або В.