Подвійний інтеграл (стр. 2 из 4)

- областю інтегрування;

- змінними інтегрування; (або ) - елементом площі.

Звернемося до задач п. Якщо границі в рівностях (2) і (4) існують, то з цих рівностей і формули (6) отримуємо формули для обчислення об'єму циліндричного тіла

(7)

та маси пластинки

. (8)

Якщо у формулі (7) покласти

, , то отримаємо формулу для обчислення площі області :

. (9)

Рівності (7) і (8) розглядають відповідно як геометричний та механічний зміст подвійного інтеграла, якщо підінтегральна функція невід'ємна в області

.

Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція

неперервна в замкненій обмеженій області

, то вона інтегровна в цій області.

Є ще й інші умови існування подвійного інтеграла, але надалі ми вважатимемо, що підінтегральна функція

в області інтегрування є неперервною.

Порівнюючи означення подвійного інтеграла (6) та означення визначеного інтеграла

,

бачимо, що конструктивно ці означення цілком аналогічні: в обох випадках розглядається деяка функція

, але в першому випадку це функція однієї змінної, визначена на одновимірній області - відрізку , а в другому - це функція двох змінних, визначена у двовимірній області . В обох випадках область визначення розбивається на частини, в кожній з яких береться довільна точка і в ній знаходиться значення функції. Після цього знайдене значення функції множиться на міру відповідної частини області визначення. У випадку однієї змінної такою мірою була довжина відрізка , а у випадку двох змінних - площа області . Наступні кроки знову однакові: утворюються інтегральні суми і знаходяться їхні границі, коли міра частин області визначення прямує до нуля. Пізніше ми побачимо, що за цією самою схемою будується і потрійний інтеграл, тільки мірою області там є об'єм.

У зв'язку з цим, властивості подвійного інтеграла аналогічні відповідним властивостям визначеного інтеграла. Сформулюємо ці властивості.

Сталий множник можна винести за знак подвійного інтеграла:

, .

Подвійний інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі подвійних інтегралів від цих функцій:

.

Ця властивість має місце для суми довільного скінченного числа функцій.

Якщо в області

функція

, то

.

Якщо функції

і

визначені в одній і тій самій області

і

, то

.

(Адитивність подвійного інтеграла). Якщо область інтегрування функції

розбити на області

і

, які не мають спільних внутрішніх точок, то

.

Ця властивість називається адитивністю подвійного інтеграла і справедлива для довільного скінченого числа областей, які складають область

і не мають спільних внутрішніх точок.

(Оцінка подвійного інтеграла). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області

, яка має площу

, то

,

де

і

- відповідно найменше і найбільше значення підінтегральної функції в області

.

(Середнє значення функції.) Якщо функція

неперервна в замкненій обмеженій області

, яка має площу

, то в цій області існує така точка

що

.

Величину

називають середнім значенням функції

в області

.

подвійний інтеграл адитивність

3. Обчислення подвійного інтеграла

Обчислення подвійного інтеграла за формулою (6) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного інтеграла, пов'язане із значними труднощами. Щоб уникнути їх, обчислення подвійного інтеграла зводять до обчислення так званого повторного інтеграла - двох звичайних визначених інтегралів.

Покажемо, як це робиться. Припустимо, що при

функція . Тоді, згідно з формулою (7), подвійний інтеграл виражає об'єм циліндричного тіла (рис.3) з основою , обмеженого зверху поверхнею . Обчислимо цей об'єм за допомогою методу паралельних перерізів [6]:

,

де

- площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , а та - рівняння площин, які обмежують дане тіло. Перед тим, як обчислювати площу зробимо певні припущення відносно області .

Припустимо спочатку, що область інтегрування

обмежена двома неперервними кривими та і двома прямими та , причому для всіх (рис.4). Проведемо через точку , де , пряму, паралельну осі . Ця пряма перетинає криві та в точках і , які називатимемо відповідно точкою входу в область і точкою виходу з області . Ординати цих точок позначимо відповідно та , тоді , .