Подвійний інтеграл (стр. 3 из 4)

Рисунок 3 - Циліндричне тіло Рисунок 4 - Область

Визначена таким чином область називається правильною в напрямі осі

. Інакше кажучи, область

називається правильною в напрямі осі , якщо довільна пряма, яка проходить через внутрішню точку області паралельно осі , перетинає межу області не більше, ніж у двох точках.

Знайдемо тепер площу

. Для цього проведемо через точку площину, перпендикулярну осі (рис.3). У перерізі цієї площини і циліндричного тіла утворюється трапеція . Апліката точки лінії при фіксованому є функцією лише , причому змінюється в межах від до . Площа трапеції дорівнює визначеному інтегралу

.

Підставивши знайдене значення

у формулу і враховуючи формулу (7), отримаємо

або в зручнішій формі

. (10)

Це і є шукана формула для обчислення подвійного інтеграла. Праву частину формули (10) називають повторним інтегралом від функції

за областю . У повторному інтегралі (10) інтегрування виконується спочатку за змінною (при цьому вважається сталою), а потім за змінною . Інтеграл за змінною називають внутрішнім, а за змінною - зовнішнім. У результаті обчислення внутрішнього інтеграла (в межах від до ) одержуємо певну функцію від однієї змінної . Інтегруючи цю функцію в межах від до , тобто обчислюючи зовнішній інтеграл, отримаємо деяке число - значення подвійного інтеграла. Зауваження Наведені геометричні міркування при одержанні формули (10) можливі у випадку, коли . Проте формула (10) залишається справедливою і в загальному випадку. Зауваження 2. Якщо область обмежена двома неперервними кривими і двома прямими причому для всіх , тобто якщо область правильна в напрямі осі

(рис.5), то справедлива формула

. (11)

Тут внутрішнім є інтеграл за змінною

. Обчислюючи його в межах від до (при цьому вважається сталою), отримаємо деяку функцію від однієї змінної . Інтегруючи потім цю функцію в межах від до , отримаємо значення подвійного інтеграла.

Зауваження 3. Якщо область

правильна в обох напрямах, то подвійний інтеграл можна обчислювати як за формулою (10), так і за формулою (11). Результати матимемо однакові.

Зауваження 4. Якщо область

не є правильною ні в напрямі осі ,ні в напрямі осі (тобто існують вертикальні і горизонтальні прямі, які, проходячи через внутрішні точки області, перетинають її межу більше, ніж у двох точках), то таку область необхідно розбити на частини, кожна з яких є правильною областю у напрямі чи . Обчислюючи подвійні інтеграли по правильних областях і додаючи результати (властивість адитивності), знаходимо шуканий подвійний інтеграл за областю . Для випадку, зображеного на рис.6 (область обмежена еліпсами і прямою ), при інтегруванні в напрямі осі маємо

.

У напрямі осі

тут потрібно було б обчислити повторні інтеграли по семи областях.

Зауваження 5. Повторні інтеграли в правих частинах формули (10) і (11) називаються інтегралами з різним порядком інтегрування. Щобзмінити порядок інтегрування, потрібно від формули (10) перейти до формули (11) або навпаки.