Подвійний інтеграл (стр. 1 из 4)

ПОДВІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ

Содержание

1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла

Задача про об'єм циліндричного тіла

Задача про масу пластини

2. Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та властивості

3. Обчислення подвійного інтеграла

1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла

Задача про об'єм циліндричного тіла

Нехай маємо тіло, обмежене зверху поверхнею

, знизу - замкненою обмеженою областю площини ,з боків - циліндричною поверхнею, напрямна якої збігається з межею області , а твірні паралельні осі (рис.1). Таке тіло називають циліндричним.

Обчислимо його об'єм

. Для цього довільним способом розіб'ємо область на частин , які не мають спільних внутрішніх точок, і площі яких дорівнюють , . У кожній області виберемо довільну точку , знайдемо значення функції в цій точці і обчислимо добуток . Цей добуток дорівнює об'єму циліндричного стовпчика з твірними, паралельними осі ,основою і висотою . Усього таких стовпчиків є , і сума їхніх об'ємів

(1)

наближено дорівнює об'єму циліндричного тіла

. Це наближення тим точніше, чим більше число і чим менші розміри областей . Назвемо діаметром замкненої обмеженої області найбільшу відстань між двома точками межі цієї області. Позначимо через найбільший з діаметрів областей . Тоді природно об'єм даного тіла визначити як границю суми (1) при :

. (2)

Задача про масу пластини

Нехай маємо плоску неоднорідну матеріальну пластину, формою якої є область

(рис.2).В області задана неперервна функція , яка визначає густину пластини в точці . Знайдемо масу пластини. Для цього довільним способом розіб'ємо область на частини , які не мають спільних внутрішніх точок, і площі яких дорівнюють , .

У кожній області

візьмемо будь-яку точку і знайдемо густину в цій точці:

.

Рисунок 1 - Циліндричне тіло Рисунок 2 - Матеріальна пластина

Якщо розміри області

достатньо малі, то густина в кожній точці мало відрізнятиметься від значення . Тоді добуток наближено визначає масу тієї частини пластини, яка займає область , а сума

(3)

є наближеним значенням маси

всієї пластини. Точне значення маси отримаємо як границю суми (3) при :

. (4)

Таким чином, різні за змістом задачі ми звели до знаходження границь (2) і (4) одного й того самого виду. Можна навести ще ряд задач з фізики і техніки, розв'язання яких призводить до обчислення подібних границь. У зв'язку з цим виникає потреба у вивченні властивостей цих границь, незалежно від змісту тієї чи іншої задачі. Кожна така границя називається подвійним інтегралом. Дамо точні означення.

2. Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та властивості

Нехай функція

визначена в замкненій обмеженій області . Вважатимемо, що межа області складається із скінченного числа неперервних кривих, кожна з яких визначається функцією виду або . Розіб'ємо область на частини ,які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють , . У кожній області візьмемо довільну точку і утворимо суму

, (5)

яку назвемо інтегральною сумою для функції

за областю

. Нехай - найбільший з діаметрів областей . Якщо інтегральна сума (5) при має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області на частинні області , ні від вибору точок в них, то ця границя називається подвійним інтегралом і позначається одним із таких символів:

або .

Таким чином, за означенням

. (6)

У цьому випадку функція

називається інтегровною в області

;