Системи лінійних рівнянь (стр. 2 из 2)
.Розв’язання. Знайдемо обернену матрицю за визначенням. Нехай обернена матриця має вигляд:
. Тоді, за визначенням,АА–1 = Е, тобто
.Знаходячи добуток матриць, одержимо рівності:
.Із цих співвідношень одержуємо: g = 0, d = 0, a = 1; далі: h = 0, e =1, b = –3. І нарешті: m = 1, f = –2, c = 11. У підсумку дійдемо висновку, що:
.Задача 3. Знайти матрицю, яка є оберненою до матриці
.Розв’язання. Побудуємо матрицю 6 ´ 6, дописавши праворуч від А одиничну матрицю Е, внизу матрицю (– Е), а інші місця заповнимо нулями.
.За допомогою операцій над рядками матриці А¢ утворимо на місці (–Е) нульову матрицю. Тоді в правому нижньому куті буде стояти матриця А–1.
1.До всіх рядків матриці А¢ додамо третій рядок з деяким множником, домагаючись того, щоб всі елементи першого стовпця, крім а31, дорівнювали нулю.
2.Перший рядок отриманої матриці поділимо на (–3) і, додаючи до інших рядків матриці отриманий перший рядок з деякими множниками, досягаємо того, щоб у другому стовпці стояли нулі, крім елемента а12.
3.За допомогою другого рядка утворимо нулі в третьому стовпці, крім елемента а23.
Одержимо ланцюжок перетворень:
Звідси укладаємо, що
.Задача 4. Знайти матрицю, яка є оберненою до
.Розв’язання. Для обернення матриці застосуємо першу формулу Фробеніуса. Позначимо:
, 
, 
, 
.Знаходимо послідовно:
; 
; 
; 
.І тоді
. Привабливість зазначеного способу полягає в тому, що для обернення матриці 4-го порядку ми маємо справу з оберненням матриць лише 2-го порядку, що істотно простіше.Задача 5. За допомогою правила Крамера розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь:
.Розв’язання. Головна матриця системи має вигляд:
.Розв’язок системи може бути знайдений за правилом Крамера, тому що detА = D = 18 ¹ 0. Для цього побудуємо визначники Dх, Dу, Dz, які відрізняються від головного визначника тим, що в ньому стовпець коефіцієнтів при, відповідно, х, у та z замінено на стовпець вільних членів, тобто:
.Обчислюючи їх, знаходимо, що Dх = 18, Dу = 36, Dz = 54.
Отже
.Задача 6. Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь:
Розв’язання. Насамперед відзначимо, що система напевне сумісна, оскільки однорідна система завжди має щонайменше нульовий розв’язок.
Почнемо пошук загального розв’язку даної системи. Головна матриця системи має вигляд:
.Знайдемо ранг матриці А. Перший рядок матриці з відповідними множниками додамо до інших рядків матриці так, щоб елементи першого стовпця обернулися на нуль, крім елемента а11. Вийде матриця А1 така, що
rangА1 = rangА і
.Відзначаючи, що третій і четвертий рядки матриці пропорційні другому рядку, укладаємо, що rangА1 = rangА2, де
. Помножимо другий рядок матриці А2 на (–2) і додамо до першого рядка. Одержимо матрицю А3: 
, таку, що rangА3 = rangА2 = 2. У підсумку rangА = rangА3 = 2.Тоді вийшла система двох рівнянь, з яких можна написати:
х1 = 14х3 – 7х4 + 3х5 – х6, х2 = –7х3 + 2х4 – х5 – 2х6 і змінні х3, х4, х5, х6 – будь-які. Це і є розв’язок системи.
Однак можна (і необхідно) піти далі. Множина розв’язків лінійної однорідної системи утворює лінійний простір L вимірності dimL = n – rangА = 6 – 2 = 4. Для знаходження базисних векторів простору розв’язків надамо вільним невідомим х3, х4, х5, х6 значення: а) 1, 0, 0, 0; б) 0, 1, 0, 0; в) 0, 0, 1, 0; г) 0, 0, 0, 1. Одержимо чотири вектори, що утворять базис L: е1 = (14, –7, 1, 0, 0, 0); е2 = (–7, 2, 0, 1, 0, 0); е3 = (3, –1, 0, 0, 1, 0); е4 = (–1, –2, 0, 0, 0, 1). У такий спосіб L = ℒ(е1, е2, е3, е4), і будь-який розв’язок вихідної системи може бути записаний у вигляді лінійної комбінації базисних векторів, тобто у вигляді: с1(14, –7, 1, 0, 0, 0) + с2(–7, 2, 0, 1, 0, 0) + с3(3, –1, 0, 0, 1, 0) + с4(–1, –2, 0, 0, 0, 1), де с1, с2, с3, с4 – будь-які значення. Це і є загальний розв’язок вихідної лінійної однорідної системи рівнянь.
Задача 7. Розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь
Розв’язання. Розширена матриця системи рівнянь має вигляд:
, причому до вертикальної риски записана головна матриця системи, а після вертикальної риски – стовпець вільних членів. Перетворюючи матрицю 
аналогічно до того, як перетворювалася матриця А в розв’язку попередньої задачі, одержимо матрицю А таку, що rang = rangА = 2 і 
. Звідси можна записати загальний розв’язок системи у вигляді: х1 = 1 + 14х3 – 7х4 – 3х5, х2 = 2 – 7х3 + 2х4 – х5, де х3, х4, х5 – будь-які.Це і є загальний розв’язок вихідної системи лінійних рівнянь. Однак з метою прояснення алгебраїчної структури розв’язку системи відзначимо таке:
Враховуючи, що rang
= rang A = 2 < n = 5, можемо зазначити, що множина розв’язків системи являє собою лінійний многовид. Вектором зсуву цього лінійного многовиду є частинний розв’язок неоднорідної системи рівнянь, для знаходження якого дамо вільним невідомим х3, х4, х5 довільні значення (наприклад нулі) і одержимо: f = (1, 2, 0, 0, 0). Підпростором зсуву є простір розв’язків однорідної системи з матрицею А2, яка збігається з головною матрицею вихідної системи неоднорідних рівнянь 
.Звідси х1 = 14х3 – 7х4 – 3х5, х2 = – 7х3 + 2х4 – х5, де х3, х4, х5 – будь-які. Даючи вільним змінним х3, х4, х5 значення: а) 1, 0, 0; б) 0,1,0; в) 0, 0, 1; одержимо, відповідно, базисні вектори простору L розв’язків однорідної системи рівнянь:е1 = (14, –7, 1, 0, 0), е2 = (–7, 2, 0, 1, 0), е3 = (–3, –1, 0, 0, 1).
Отже, розв’язки вихідної системи утворюють лінійний многовид М:
M = {x½x = f + c1e1 + c2e2 + c3e3}, де c1, c2, c3 – будь-які,