Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора (стр. 2 из 10)

Введемо операцію множення операторів. Нехай

та – два будь-яких лінійних оператора з , а – довільний вектор простору . Очевидно вектор , тому цей вектор можна привести за допомогою оператора . В результаті вектор буде перетворений до вектору . Оператор, який приводить довільний вектор простору у вектор , називається добутком операторів та і позначається так: . За означенням добутку операторів і для будь-якого вектору . Легко перевірити, що , , де – довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто . Зауважимо, що .

Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості

1)

, 3) ,

2)

, 4) .

Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість

. Нехай – довільний вектор простору . Для довільного вектору простору за означенням добутку і суми операторів має

Таким чином,

, тобто .

Якщо для оператору

можна вказати такий лінійний оператор , що , то оператор називають оберненим для оператору . Можна показати, що оператор – єдиний.

Покажемо, що оператор

, що має обернений, перетворює ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо , то й . Спочатку доведемо, що . Дійсно, так як – лінійний оператор, то для будь-якого . Доведене твердження справедливе для будь-якого лінійного оператора, в тому числі і для оператора, що має обернений, і для оператора . Нехай і . Так як оператор має обернений, то , тобто . Якщо припустити, що деякому відповідає вектор , тоді на основі установлених рівностей і виходило б, що . А це заперечує початковому фактові, що . З цього випливає, що припущення про те, що для деякого , невірно, тому для будь – якого .

Доведемо ще одну властивість оператора

, що має обернений. Такий оператор два різних вектора та перетворює у два різні вектори і . Дійсно, якщо припустити противне, що існують такі нерівні один одному і , для яких , тоді для таких і або, що те саме . За умовою оператор має обернений. За доведеною вище властивістю такого оператора із рівності випливає, що , тобто . Ми прийшли до протиріччя з тим фактом, що за умовою . З цього випливає, що будь – яким двом різним векторам і відповідають різні образи і .