Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора (стр. 3 из 10)

Оператор

називають взаємно – однозначним, якщо два будь – які різні вектори і він перетворює у різні вектори і . Із наведеного вище випливає, що оператор , що має обернений, є взаємно – однозначним. Для взаємно – однозначного оператора неважко довести таку властивість: якщо , то і . Покажемо, що взаємно – однозначний оператор лінійно незалежні вектори , , …, перетворює в лінійно незалежні вектори , , …, . Для доведення цього твердження скористаємося методом «від противного». Припустимо противне, що вектори , …, – лінійно незалежні. Тоді можна знайти такі не рівню нулю числа, що . Так як оператор – лінійний, то .

Звідси за властивістю взаємно-однозначного оператора

, тобто вектори , , …, виявляються лінійно залежними. Протиріччя з умовою ствердження означає, що вектори , , …, лінійно незалежні.

Із доведеного випливає, що будь-який вектор

простору має єдиний прообраз такий, що . Доведемо тільки єдність прообразу вектора . Дійсно, якщо припустити, що вектор має декілька різноманітних прообразів, наприклад, і , то виявиться, що . Звідси , маємо , так як оператор взаємно-однозначний. Отже, якщо оператор – взаємно-однозначний, то кожному вектору простору він ставить у відповідність один і тільки один вектор . Звідси випливає, що взаємно-однозначний оператор має обернений.

Підводячи підсумок сказаному вище про властивості оберненого і взаємно-однозначного операторів, сформулюємо наступне твердження.

Теорема 2.1. Для того, щоб лінійний оператор

мав обернений необхідно і достатньо, щоб він був взаємно-однозначним.

Введемо поняття ядра й образу оператора. Ядром лінійного оператора

називають таку множину векторів простору , що для любого . Відомо, що будь-який лінійний оператор приводить вектор в , тобто , тому ядро довільного лінійного оператора не є пустою множиною, так як воно завжди містить оператор .

Теорема 2.2. Якщо

містить єдиний вектор , то оператор є взаємно-однозначним.

Доведення. Нехай

- два довільно взятих вектора лінійного простору. Якщо показати, що , то це буде означати, що оператор є взаємно-однозначним. Припустимо противне, що знайдуться два вектора і , такі, що , а . Тоді для цих векторів . За умовою теореми складається із єдиного вектора , тобто для вектора і тільки для нього . В силу цього чи . Ми прийшли до протиріччя з припущенням про те, що . Тому для будь-яких не рівних один одному векторів і простору . Отже, твердження теореми вірне.

Теорема 2.3. Для того, щоб оператор

мав обернений, необхідно і достатньо, щоб .

Доведення цієї теореми основується на теоремах 2.1 і 2.2 про обернений оператор і ядро взаємно-однозначного оператора.

Образом оператора

називається множина всіх векторів простору , кожний з яких має прообраз, тобто якщо , то існує такий вектор , що . Легко побачити, що якщо містить тільки нульовий вектор, то є весь лінійний простір : . Дійсно, якщо , то оператор є взаємно-однозначним. За доведеною вище властивістю взаємно-однозначного оператора кожний вектор простору має єдиний прообраз : , так що .