Смекни!
smekni.com

Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора (стр. 5 из 10)

Покажемо тепер, що підпростір

є ядром оператора
. Нехай
який-небудь вектор підпростору
. Так як
, то це означає, що вектор
входить в ядро оператора
. Звідси випливає, що підпростір
. Для доведення того, що
треба показати, що будь-який вектор
простору
, що не належить підпростору
, не може бути елементом ядра оператора
. Нехай
- вектор простору
, який не належить підпростору
. Зрозуміло, що хоча б одна із координат
цього вектору не рівна нулю, так як в протилежному випадку
. Розглянемо
. Так як
лінійно незалежні вектори, а серед чисел
є відмінні від нуля, то
. Це означає, що будь-який вектор, що не належить підпростору
, не належить і ядру оператора
. Отже,
.

Теорема 2.6. Нехай

і
– два яких-небудь лінійних оператора із множини
, тоді
,
.

Доведення. Нехай

– довільний вектор простору
. Зрозуміло, що
. Будь-який вектор
множини
за означенням добутку операторів це вектор
. Останній є вектором множини
. З цього слідує, що має місце включення
. А це означає, що
, тобто
. Перше твердження теореми доведено.

Доведемо справедливість другого. Нехай

– довільний вектор ядра оператора
, тоді
, і, тому,
. Це означає, що якщо
, то
, тобто
. Звідси випливає нерівність
. Позначимо через
розмірність простору
. Згідно теореми 2.4
,
. Так як
, то
, тобто
.

Теорема 2.7. Нехай

– розмірність простору
,
і
– лінійні оператори із
, тоді
.

3. Матриця лінійного оператора

Нехай

- деякий базис лінійного простору
, а
– який-небудь лінійний оператор, діючий із
в
. Вектор
оператор
перетворює в вектор
. Вектори
простору
розкладемо по векторах базису
цього простору. Побудуємо матрицю
порядку
, стовпці якої складені із координат векторів
,

,
,
.

Матриця

називається матрицею оператора
в базисі
.

Приклад. Записати матрицю тотожного і нульового операторів у базисі

простору
.

Розв’язок. Тотожний оператор

будь-який вектор простору
приводить в той же самий оператор. Тому
. А це означає, що матриця
тотожного оператора буде одиничною в будь-якому базисі простору
. Нульовий оператор
будь-який вектор простору
перетворює в нульовий вектор, тому матриця
цього оператора – нульова в будь-якому базисі.