Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора (стр. 6 из 10)

Із сказаного вище випливає, що в обраному базисі

-мірного простору з кожним лінійним оператором можна зв’язати квадратну матрицю порядку . Виникає питання: чи можна кожній квадратній матриці порядку поставити у відповідність такий лінійний оператор , матриця якого в заданому базисі простору співпадає з матрицею ? Стверджувальну відповідь на це питання дає

Теорема 3.1. Нехай

– деяка квадратна матриця порядку . Нехай – довільний обраний базис -мірного лінійного простору . Тоді існує єдиний лінійний оператор , який у вказаному базисі має матрицю .

Доведення. Розглянемо лінійний оператор

, який вектори базису простору перетворює у вектори , . У базисі оператор , очевидно, має матрицю . Залишається довести, що є єдиним оператором з матрицею. Припустимо протилежне, що, крім оператора , існує ще лінійний оператор , маючий матрицю в базисі . Це означає, що , . Виберемо який-небудь вектор простору і розглянемо вектори і . Маємо .

Як наслідок, що для будь-якого

. Звідси витікає, що . Теорему доведено.

Теорема 3.2. Нехай

– матриця лінійного оператора в базисі простору . Ранг оператора дорівнює рангу його матриці: .

Доведення. В основі доведення лежать означення рангу оператора і рангу матриці:

, ранг матриці дорівнює рангу системи його стовпців.

Нехай

– який-небудь вектор - мірного простору . Образом вектора є вектор . Як бачимо, довільний вектор образу оператора , тобто множини , представляє собою лінійну комбінацію векторів . Отже, є лінійною оболонкою множини векторів . Відомо, що розмірність лінійної оболонки дорівнює рангові системи векторів, які вони утворюють, тому . За означенням у стовпцях матриці оператора розміщені координати векторів у базисі . Отже, на основі означення рангу матриці . Таким чином, .

Нехай

і матриці операторів і в якому-небудь базисі простору , тоді із способу побудови цих матриць витікає, що матриці операторів і , де і – довільно взяті числа, рівні відповідно і . Доведемо справедливість першого твердження, як більш складного. Дійсно, стовпці матриці оператора побудовані із координат векторів у базисі простору . Визначимо елементи -го стовпця цієї матриці, тобто координати вектора . Маємо

Звідси видно, що довільний елемент

матриці оператора дорівнює , тобто дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці на відповідний елемент -го стовпця матриці . А це означає, що . Твердження доведено.