Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора (стр. 7 из 10)

Із доведеного твердження і теорем 2.6, 2.7 про ранг оператора

слідує справедливість таких нерівностей для двох добутків квадратних матриць і одного порядку .

, ,

Відомо, що необхідною і достатньою умовою існування оберненого оператора для оператора

, є умова , де – розмірність простору . Із теореми 3.2 витікає, що остання умова еквівалентна вимозі: матриця оператора повинна бути не виродженою.

Іншими словами, щоб оператор

мав обернений необхідно і достатньо, щоб його матриця в якому-небудь базисі лінійного простору виявилась не виродженою.

4. Перетворення матриці оператора при заміні базису

Нехай у просторі

обрані два базиси і . Перший базис для зручності назвемо старим, а другий – новим. Координати векторів у старому базисі розмістимо у стовпцях матриці

.

Побудована матриця називається матрицею переходу від старого базису до нового. Вектори

лінійно незалежні, тому і, звісно, матриця не вироджена.

Згідно сказаному

(4.1)

Ці формули зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі мають вигляд

,

де

– транспонована матриця .

Теорема 4.1. Матриці

і оператора в базисах і зв’язані співвідношеннями

,

,

де

– матриця переходу від старого базису до нового .

Доведення. За означенням матриці оператора

,

де

і – елементи матриць і . Замінимо в останній рівності вектори згідно формулам (4.1), отримаємо

(4.2)

З іншого боку

Але

Тому

(4.3)

Із двох отриманих виразів (4.2) і (4.3) для вектора виходить, що

У цій рівності вектори

лінійно незалежні, тому коефіцієнти про однакових векторах у лівій і правій частинах рівності мають бути однаковими, отже,

,

Згідно означенню добутку двох матриць звідси витікає матричне рівність

. Якщо помножити обидві частини цієї рівності на праворуч, то отримаємо , якщо помножити на злів, то будемо мати . Теорему доведено.

Матриці

і одного й того ж порядку називаються подібними, якщо можна знайти таку не вироджену матрицю того ж порядку, що . Із цього означення і теореми 4.1 витікає, що матриці оператора у різних базисах виявляються побідними. Покажемо, що визначники подібних матриць і рівні. Дійсно, згадавши, що визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, можемо записати

.

Із доведеного твердження виходить, що визначник матриці оператора не змінюється при заміні базису. У зв’язку з цим доречно ввести поняття визначника оператора. Визначником оператора

називають число , рівне визначнику матриці оператора в якому-небудь базисі простору.

Приклад. Лінійний оператор

діє на вектори базису наступним чином: . Знайти визначник оператора .

Розв’язок. Матриця оператора

у базисі має вигляд

,

тобто є верхньою трикутною. Визначник цієї матриці дорівнює одиниці, тому і

.