5. Власні значення і власні вектори оператора
Число
називається власним числом лінійного оператора , якщо у просторі можна знайти такий ненульовий вектор , що (5.1)Будь-який ненульовий вектор, задовольняючий рівності (5.1), називають власним вектором оператора
, що відповідає власному значенню .Рівність (5.1) можна записати по іншому
, де – тотожний оператор. Оскільки – ненульовий вектор, то зрозуміло, що розмірність ядра оператора не менше одиниці. Нехай – розмірність простору , в якому діє оператор . Відомо, що . Звісно,Таким чином, якщо число
є власним значенням оператора , то є коренем рівняння (характеристичне рівняння або вікове рівняння оператора ).Вияснимо, чи всі корені характеристичного рівняння
будуть власними значеннями оператора . Нехай – який-небудь корінь рівняння, тоді для цього значення . Це означає, що матриця оператора буде виродженою у будь-якому базисі простору . Як наслідок, . Так як , то . А це означає, що існую по меншій мірі один ненульовий вектор , такий, що чи . Таким чином, будь-який корінь характеристичного рівняння буде власним значенням оператора , тобто вірне твердження.Теорема 5.1. Для того, щоб комплексне число
було власним значенням лінійного оператора , необхідно і достатньо, щоб це число було коренем характеристичного рівняння .Нехай
– базис простору и нехай ,матриця лінійного оператора
у цьому базисі. Відомо, що матриця тотожного оператора в будь-якому базисі буде одиничною, тому в розглянутому базисі простору оператор характеризується такою матрицеюВизначник цієї матриці, тобто
, називається характеристичним або віковим визначником оператора . Легко побачити, що добуток елементів головної діагоналі вікового визначника буде многочленом степені , решта членів визначника будуть многочленами степені не вище . З цього видно, що віковий визначник оператора є многочленом степені . За наслідком з основної теореми алгебри такий многочлен має коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність. Тому число власних значень оператора , діючого в -мірному просторі, дорівнює , якщо кожне власне значення рахувати стільки разів, яка його кратність.Відомо, що в різних базисах простору
матриці оператора , взагалі-то, різні. У зв’язку з цим виникає питання про пошук такого базису простору , в якому матриця оператора має найпростіший вигляд (найбільше число нульових елементів). Припустімо, що у просторі існує базис всі вектори якого є власними векторами оператора , тобто . У цьому базисі матриця оператора буде мати діагональний вигляд .Навпаки, якщо в якому-небудь базисі простору
матриця лінійного оператора має діагональний вид, то всі вектори базису є власними векторами оператора . Таким чином, доведено наступне твердження.Теорема 5.2. Для того, щоб матриця лінійного оператора
у базисі простору була діагональною, необхідно і достатньо, щоб вектори були власними векторами оператора . Теорема 5.3. Якщо власні значення лінійного оператора , діючого в -мірному просторі , різні, тоді відповідні їм власні вектори лінійно незалежні.Наслідок. Якщо характеристичне рівняння
має різних коренів, то у -мірному векторному просторі існує базис, в якому матриця оператора має діагональний вид.