Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора (стр. 9 из 10)

Якщо оператор

має кратні власні значення, то може виявитися, що максимальна лінійно незалежна сукупність власних векторів оператора не буда утворювати базис лінійного простору, в якому діє оператор . У зв’язку з цим виникає питання, якими векторами доповнити до базису простору максимальну лінійно незалежну сукупність власних векторів, щоб у цьому базисі матриця мала найпростіший вигляд. Відповідь на це питання дав французький математик Жордан.

Вектор

називається приєднаним вектором оператора , що відповідає кратному власному значенню цього оператора, якщо можна вказати таке натуральне число , що . Число називається порядком приєднаного вектора . Нехай – приєднаний вектор порядку , що відповідає власному значенню . Позначимо через вектор . Тоді за означенням приєднаного вектора або . Вектор виявляється власним вектором оператора . Цю властивість приєднаного вектора можна використовувати при побудові приєднаних векторів за заданим власним вектором .

Теорема 5.4. (теорема Жордана). У

-мірному векторному просторі існує базис , побудований із власних векторів і відповідних їм приєднаних векторів, такий, що

, ; , .

У цьому базисі матриця оператора

має наступний вид

,

де

- квадратна матриця порядку (клітка Жордана):

.

Вказана в теоремі 5.4 форма матриці

оператора називається жордановою або канонічною формою матриці цього оператора.

На кінець відмітимо, що якщо

– власний вектор лінійного оператора , то і вектор , де – довільно взяте відмінне від нуля число, також буде власним вектором оператора . Дійсно,

.

Приклад 1. З’ясувати, які з перетворень

, заданих шляхом завдання координат вектора як функцій координат вектора , являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів і .

.

Розв’язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:

Аксіома адитивності:

.

Для будь-яких векторів

та повинно виконуватись

.

.

Аксіома адитивності виконується.

Перевіримо аксіому однорідності:

Так як властивість адитивності і однорідності виконується, тому перетворення

– лінійне.

Приклад 2. З’ясувати, які з перетворень

, заданих шляхом завдання координат вектора як функцій координат вектора , являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів і .

.

Розв’язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:

Аксіома адитивності:

.

Для будь-яких векторів

та повинно виконуватись

.

Так як властивість адитивності не виконується, тому перетворення

– не лінійне.

Приклад 3. Показати, що множення квадратних матриць другого порядку а) зліва, б) з права на дану матрицю

являються лінійними перетвореннями простору всіх матриць другого порядку, і знайти матриці їх перетворень в базисі, який складається з матриць: