Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора (стр. 1 из 10)

КУРСОВА РОБОТА

"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора"

Запоріжжя 2010

1. Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами

Нехай

і два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення , яке ставляє у відповідність кожному вектору простору деякий вектор простору , будемо називати оператором , діючий із в . Якщо є образом вектора , то пишуть .

Оператор

називається лінійним, якщо виконуються дві умови:

1.

(властивість адитивності);

2.

(властивість однорідності);

Тут

довільно взяті вектори простору , довільно комплексне число.

Позначимо через

множина всіх лінійних операторів, діючих із в . Два лінійних оператора і будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору простору . Визначимо тепер операцію додавання із множини і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів і розуміють оператор такий, що для будь – якого вектора простору

.

Під добутком лінійного оператора

на комплексне число розуміють оператор такий, що для любого вектора простору

Неважко переконатися в тому, що оператори

і лінійні.

Оператор

називається нульовим, якщо для будь – якого вектору простору .

Щоб переконатися, що оператор

лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів простору мають місце рівності і . Так як будь – якому вектору простору оператор ставить у відповідність вектор , то . Як наслідок, - лінійний оператор.

Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору

. Оператор – називається протилежним оператором , якщо . Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору із і що лінійний оператор.

Введені на множині

лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:

1.

,

2.

,

3. існує один лінійний оператор

такий, що для будь – якого лінійного оператора із

4. для кожного оператора

існує єдиний оператор – такий, що .

Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини

випливає, що множина по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості .

Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини

дозволяє стверджувати, що множина є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.

2. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V

В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору

в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із в .

Назвемо тотожнім (одиничним) оператор

такий, що для любого вектора простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор – лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора з , існує ще один тотожний оператор , тоді для будь-якого будемо мати , , очевидно, , тобто .