КУРСОВА РОБОТА
"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора"
Запоріжжя 2010
1. Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами
Нехай
і два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення , яке ставляє у відповідність кожному вектору простору деякий вектор простору , будемо називати оператором , діючий із в . Якщо є образом вектора , то пишуть .Оператор
називається лінійним, якщо виконуються дві умови:1.
(властивість адитивності);2.
(властивість однорідності);Тут
довільно взяті вектори простору , довільно комплексне число.Позначимо через
множина всіх лінійних операторів, діючих із в . Два лінійних оператора і будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору простору . Визначимо тепер операцію додавання із множини і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів і розуміють оператор такий, що для будь – якого вектора простору .Під добутком лінійного оператора
на комплексне число розуміють оператор такий, що для любого вектора просторуНеважко переконатися в тому, що оператори
і лінійні.Оператор
називається нульовим, якщо для будь – якого вектору простору .Щоб переконатися, що оператор
лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів простору мають місце рівності і . Так як будь – якому вектору простору оператор ставить у відповідність вектор , то . Як наслідок, - лінійний оператор.Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору
. Оператор – називається протилежним оператором , якщо . Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору із і що лінійний оператор.Введені на множині
лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:1.
,2.
,3. існує один лінійний оператор
такий, що для будь – якого лінійного оператора із4. для кожного оператора
існує єдиний оператор – такий, що .Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини
випливає, що множина по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості .Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини
дозволяє стверджувати, що множина є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.2. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V
В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору
в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із в .Назвемо тотожнім (одиничним) оператор
такий, що для любого вектора простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор – лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора з , існує ще один тотожний оператор , тоді для будь-якого будемо мати , , очевидно, , тобто .