Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел (стр. 2 из 8)

Визначення 1.23. Якщо будь-які дві різні крапки х и в топологічного простору Х мають непересічні околиці, то простір Х називається хаусдорфовим простором або Т 2-простором.

Визначення 1.24. Топологічний простір Х називається регулярним простором, або Т 3-простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого

й кожного замкнутої множини , такого, що , існують відкриті множини U1 і U2, такі, що 1, 2 і U1 U2 = Æ.

Визначення 1.25. Топологічний простір Х називається тихоновським простором, або Т3

- простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого й будь-якого замкнутої множини , такого, що , існує безперервна функція f: , така, що f(x)=0 і f(y)=1 для .

Визначення 1.26. Топологічний простір Х називається нормальним, або Т 4-простором, якщо для кожної пари непересічних замкнутих множин А и В існують непересічні відкриті множини U і V такі, що А

U, B V.

РОЗДІЛ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел

§1. ЦІЛКОМ УПОРЯДКОВАНІ МНОЖИНИ І ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ

Розглянемо цілком упорядковані множини і їхні властивості.

Пропозиція 1.1. Усяка підмножина цілком упорядкованої множини саме є цілком упорядкована множина (очевидно).

Пропозиція 1.2. Якщо f – ізоморфізм цілком упорядкованої множини А в себе, то для будь-якого елемента х

А виконується нерівність f (x) x. (1)

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що в А є елементи х, не задовольняючій нерівності (1). Тоді серед цих елементів є найменший, тому що А є цілком упорядкованим. Позначимо його через х1 : f (x1)<x1. Позначимо f (x1) = x0 і перепишемо нерівність: х0<х1. Тому що f – ізоморфізм, то виконується нерівність: f(x0)<f (x1) = x0.

Таким чином, одержали наступні нерівності: х0 < x1 і f (x0) < x0 . Ці нерівності суперечать визначенню елемента х1, як найменшого з елементів х множини А, не задовольняючій умові f (x) < x. :

Визначення 2.1. Початковим відрізком, що відтинається елементом а

А від лінійно впорядкованої множини А, називається множина Аа = {x | x A, x < a}.

Пропозиція 1.3. Нехай А’ – довільна підмножина цілком упорядкованої множини А. Тоді множина А не ізоморфно ніякому відрізку множини А’.

Доказ:

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що існує ізоморфізм цілком упорядкованої множини А в деякий відрізок Ах’ підмножини А’

А. Тоді f (x) Ax’. Отже, f (x) < x – протиріччя із пропозицією 1.2. ■

Наслідок 1.4. Два різних відрізки цілком упорядкованої множини не можуть бути ізоморфні між собою.

Доказ.

Нехай Ах і Агов – два різних відрізки цілком упорядкованої множини А. Тому що Ах і Агов різні, а множина А – цілком упорядкована, те х и в порівнянні, при цьому х

в. Нехай для визначеності x < y. Тоді Ах – відрізок множини Агов і за пропозицією 1.3 Ах і Агов не можуть бути ізоморфними. :

Пропозиція 1.5. Існує не більше одного ізоморфізму однієї цілком упорядкованої множини на інше.

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що f і g – два різних ізоморфізми цілком упорядкованої множини А на цілком упорядковану множину В. Тому що f і g різні, то існує а

А: b = f (a) b’ = g (a). Нехай для визначеності b < b’. При всякому ізоморфізмі f множини А на множину У відрізок Ах А переходить у відрізок Ву В, де в = f (х). Тому відрізок Аа А подібний до відрізків

Вb

У и Вb’ B, тобто Bb ізоморфний Aa і Аа ізоморфний Вb’. Отже, відрізок Вb ізоморфний відрізку Bb’ , але це суперечить наслідку 1.4. ■

Визначення 2.2. Якщо для елемента а

А існує елемент а' =

= inf {x | a < x, x

A}, те а' називається безпосередньо наступним за а.

Пропозиція 1.6. Якщо А – цілком упорядкована множина, то в кожного елемента множини А, крім найбільшого, є безпосередньо наступний за ним елемент.

Доказ.

Візьмемо деякий елемент а

А, нехай а не є найбільшим елементом. Розглянемо множину {x | x A, x > а}. За пропозицією 1.1 воно має найменший елемент а', що є точною нижньою гранню розглянутої множини. Отже, а' треба за а. :

§2. КІНЦЕВІ ЛАНЦЮГИ І ЇХНІ ПОРЯДКОВІ ТИПИ

Пропозиція 2.1. Множина з n елементів можна лінійно впорядкувати n! способами.

Доказ.

Для доказу досить застосувати формулу числа перестановок для n-елементної множини: Рn=n! :

Пропозиція 2.2. Будь-яке кінцеве лінійно впорядкована множина є цілком упорядкованою множиною.

Доказ.

Нехай є множина А – кінцеве лінійно впорядкована множина. Треба довести, що А є цілком упорядкованим, тобто будь-яку його підмножину має найменший елемент. Розглянемо довільну множину В, що є підмножиною множини А. Припустимо, що воно не має найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В. Позначимо його через b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то в ньому є елемент b2, такий, що b2 < b1. Елемент b2 не є найменшим елементом в В, тому є елемент b3<b2. Повторюючи це міркування, будуємо для кожного натурального n елемент bn+1

B, причому bn+1 < bn.

Таким чином, одержали нескінченну множину {b1, b2, . . . ,bn, . . }

, але це суперечить тому, що В – підмножину кінцевої множини А и, отже, саме є кінцевим. :

Пропозиція 2.3. Будь-які два кінцеві ланцюги, що складаються з n елементів, ізоморфні.

Доказ.

нехай є два кінцеві ланцюги з n елементів:

a1 < a2 <…<an,

b1<b2<…<bn.....

Для кожного аi покладемо f (ai) = bi. Очевидно, що відображення f є ізоморфізмом. :

Зауваження: нескінченні лінійно впорядковані множини однакової потужності можуть і не бути ізоморфними. Наприклад, множина натуральних чисел і множина цілих чисел із природними порядками. Потужності цих множин рівні, але вони не є ізоморфними, тому що в N є найменший елемент, а в Z найменшого елемента немає.

Визначення 2.3. Порядковим типом лінійно впорядкованої множини А називається клас всіх лінійно впорядкованих множин, ізоморфних множині А.

Будемо вважати, що порядковий тип порожньої множини є 0.

Позначимо через n порядковий тип n - елементної множини

Nn = {0, 1, 2,…,n-1}с порядком 0 < 1 < 2 <...< n-1.

§3. ПОРЯДКОВИЙ ТИП

Визначення 2.4. Множина натуральних чисел із природним порядком і всі ізоморфні йому лінійно впорядковані множини називаються множинами порядкового типу

.

Пропозиція 3.1. Нескінченне лінійно впорядкована множина А має порядковий тип

тоді й тільки тоді, коли воно задовольняє наступним умовам:

у множині А є найменший елемент a0;

для будь-якого а

А існує точна нижня грань а' у множині {x | a < x, x A};

3) для будь-якої підмножини Х множини А з того, що а0

Х и Х

містить разом з кожним своїм елементом безпосередньо наступний за ним елемент, треба, що Х = А.

Доказ.

Нехай лінійно впорядкована множина А задовольняє умовам 1)- 3). Доведемо, що А має порядковий тип , тобто А ізоморфно множині N.