Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел (стр. 4 из 8)

Аналогічно доводиться, що

.

Однак, нерівності

< і < не можуть бути виконані одночасно, тому що в цьому випадку ми мали б D, так що було б типом відрізка множини D і не могло б бути типом усього D.

Таким чином, є лише наступні можливості:

1)

= , = і, виходить, = ;

2)

= , = і, виходить, < ;

3)

< , = і, виходить, < . :

Теорема 4.3. Будь-яка множина А, що складається з ординальних чисел, цілком упорядковано.

Доказ.

Лінійна впорядкованість множини А треба з теореми 4.2. Залишається довести, що будь-яка непуста множина A’

А має найменший елемент.

Візьмемо який-небудь елемент а'

A’. Якщо а' – найменший із чисел

х

А’, те все доведено. Якщо ж ні, то перетинання W (a’) A’ непорожньо й, будучи підмножиною цілком упорядкованої множини W (a’), містить перший елемент а. Ординальне число а і є найменшим елементом в A’. :

Визначення 2.8. Нехай є дві впорядкованих множини А и В, що не мають загальних елементів. Розглянемо множину А

В, що складається із всіх елементів а А и b B. Перетворимо множину А В у впорядкована множина А+В, увівши в нього порядок у такий спосіб: якщо а<a’ в A або b<b’ в В, те ті ж відносини зберігаються в А+В; якщо ж а А, b В, те покладемо a<b в А+В. Упорядковане в такий спосіб множина А+У називається порядковою сумою впорядкованих множин А и В. Якщо і є порядкові типи множин А и В, то порядковий тип множини А+У називається сумою + порядкових типів і .

Теорема 4.4. Нехай

- яке-небудь ординальне число. Тоді +1 є ординальне число, що безпосередньо випливає за .

Доказ.

Нехай А – яке-небудь цілком упорядкована множина типу

. По визначенню додавання порядкових типів множина А’ типу +1 одержимо, якщо приєднаємо до А новий елемент а', що випливає за всіма елементами а А. Тоді A = A’a’, тобто < +1.

Усяке ординальне число

’< +1 є типом деякого відрізка Аx’ множини A’. Але якщо х = а', те Аx’ = A’a’ = A і ’ = ; якщо ж x = a < a’, те Ax’ = Aa і ’ < . :