Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел (стр. 5 из 8)

Теорема 4.5. Нехай А и В – цілком упорядковані множини. Нехай

і - їхні порядкові типи. Якщо А В, то .

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що

< . Тоді множина В ізоморфно відрізку своєї підмножини А, а це суперечить пропозиції 1.3. ■

Теорема 4.6. Сума будь-яких ординальних чисел х

(даних у будь-якому порядку) є ординальне число , не менше, чим кожне з даних що складаються х .

Доказ.

Нехай дане деяке ординальне число

й кожному < поставлене у відповідність ординальне число х . Нехай - сума по типі всіх ординальних чисел х ; позначимо її через = .

Якщо Х

- яка-небудь множина, упорядкована по типі х , то сума цілком упорядкованого (по типі W ( )) множини множин Х є цілком упорядковану множину Х, типом якого є . Тому що множина Х містить як своя підмножина кожне із множин Х , то на підставі теореми 4.5 для будь-якого х маємо х .:

Теорема 4.7. Для будь-якої множини ординальних чисел можна побудувати ординальне число, більше кожного із чисел цієї множини.

Доказ.

Нехай є множина ординальних чисел Х. На підставі теореми 4.6 сума всіх елементів х

множини Х є ординальне число, більше, ніж кожне з даних х

§5. ПРОСТІР ОРДИНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ W (

1) І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Потужністю ординального числа називається потужність відповідні йому цілком упорядкованої множини. Так, числа 1, 2, 3, … є кінцевими ординальними числами,

- рахункове ординальне число, тому що є порядковим типом множини N.

Позначимо

1 – перше незліченне ординальне число. Розглянемо W( 1) – множина всіх ординальних чисел, менших 1. По теоремі 4.1 множина W( 1) є цілком упорядкованим і має тип 1, тобто |W( 1)| = 1 – перша незліченна потужність.

Визначення 2.9. Ординальне число називається граничним, якщо воно не має попереднього.

Пропозиція 5.1.

1 – граничне ординальне число.

Доказ.

Якщо

1, то - розрахункове або звичайно. Тоді таким буде й число . Отже, 1. Таким чином, ніяке число 1 не є попередньої 1. :

Пропозиція 5.2. Серед чисел множини W(

1) нескінченно багато граничних ординальних чисел.

Доказ.

Нехай

1, тоді - звичайно або розрахункове. Тоді - розрахункове, отже, 1, тому 1).■

W(

1) – лінійно впорядкована множина, тому що будь-які його два елементи порівнянні (по теоремі 4.2). Отже, на ньому можна ввести порядкову топологію, при цьому W( 1) стає лінійно впорядкованим простором. Для нього виконуються загальні топологічні властивості лінійно впорядкованих просторів:

1. Хаусдорфовость. Простір W(

1) є хаусдорфовим простором ([1]).

2. Нормальність. Простір W(

1) є нормальним простором ([1]) і, отже, тихоновским простором ([3]).

3. Фундаментальна система околиць довільної крапки з W(

1).

Визначення 2.10. Множина

околиць крапки х утворить фундаментальну систему околиць цієї крапки, якщо для будь-якої околиці U(x) крапки х найдеться околиця ПРО(х) , для якої х .

Будь-яка крапка простору W(

1) має фундаментальну систему околиць, що складає з відкрито-замкнутих множин, тобто для будь-якого > 0 множина всіх відкрита-замкнутих інтервалів [ +1; ] = ={x: < x < +1}, де утворить фундаментальну систему околиць крапки .

4. Локальна компактність.

Лема 5.3. W(

) компактно тоді й тільки тоді, коли не є граничним ординальним числом.

Доказ.

Необхідність. Будемо доводити методом від противного й припустимо, що

- граничне ординальне число. Розглянемо множину «хвостів», тобто множина виду W( )&bsol;W( ) = {x W( ):

x

}, де – деяке ординальне число: . Це замкнуті множини. Очевидно, що перетинання кінцевого числа «хвостів» є «хвостом», тобто не порожньо. Таким чином, «хвости» утворять центровану систему замкнутих множин. Тому що - граничне ординальне число, то перетинання всіх множин цього сімейства порожньо й, отже, W( ) не компактно - протиріччя. Отже, - не є граничним ординальним числом.