Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел (стр. 6 из 8)
Достатність. Проведемо доказ по індукції:
1.W(0) = ( - очевидно компактно.
2. Індукційне припущення: нехай
’ = +1 – не граничне ординальне число. Припустимо, що W( 
) компактно для будь-якого < +1.Нехай
- сімейство відкритих множин, що утворять покриття простору W( +1). Тому що крапка покрита, то існує U 
, 
< : [ +1; ] 
U . По індукційному припущенню простір W( +1), що є підпростором W( +1), компактно, тому що +1< +1. Тому кінцева підродина F з покриває W( +1). Тоді F 
{U} – це кінцеве підпокриття з , що покриває W( +1). Отже, W( +1) компактно. :Із цієї леми треба, що простір W(
1) не є компактним, тому що 1 - граничне ординальне число.Пропозиція 5.4. Простір W(
1) локально компактно.Доказ.
Візьмемо довільну крапку
з W( 1). Тому що 
W( 1), те < 1 і +1< 1 (тому що 1 – граничне ординальне число). Отже, +1 не є граничним ординальним числом. Як околиця крапки візьмемо відкрито-замкнуту множину U( ) = { | < +1} = { | 
} = W( +1) – компактно (по лемі 5.3) і містить крапку . Отже, W( 1) локально компактно. :5. Рахункові множини в W(
1).Визначення 2.11. Множина А називається кофинальним в W(
), якщо воно не обмежено зверху, тобто ( 
) ( 
).Пропозиція 5.5. Жодне рахункова множина в W(
1) не кофинальне.Доказ.
Будемо доводити методом від противного й припустимо, що в W(
1) існує рахункове кофинальна множина S.Доведемо, що W(
1) = 
: 
Очевидно, що W( ) W( 1) для будь-якого 
S W( 1). 
Доведемо, що W( 1) .Нехай
W( 1). Тому що S кофинальне, то існує S: 
. Отже, W( ) .Таким чином, W(
1) = .Помітимо, що |W(
1)| = 
1. Тоді 1 
|S| 
0. Отже, |S|= 1, чого бути не може, тому що S – рахункова множина. :6. Рахункова компактність.
Пропозиція 5.6. Будь-яка рахункова множина з W(
1) утримується в компактному підпросторі простору W( 1).Доказ.
Нехай А - рахункова підмножина в W(
1). За пропозицією 5.5 воно не є кофинальним, тобто А обмежено зверху в W( 1). Нехай = supA. Тоді 
W( 1) і А W( +1), де W( +1) на підставі леми 5.3 компактно, тому що +1 не граничне ординальне число. Таким чином, найшовся компактний підпростір простору W( 1), у якому втримується множина А. ■